CHAPITRE YII

ce qui est une équation homogène par rapport aux variables u et {f.

Les deux transformations que nous venons d'employer ne sont pas praticables lorsque

alors on a

a et Féquation proposée est

(ax -h 0/ H- c)r/j--f- — (flj: -f- 6j) + c' I rf/ = o.

Pour séparer les variables, il suffit de poser

, , , , dz — a dx

ax -^ br =z Zy d ou rfr = :

Téquation devient alors

[a' z -V- ad]dz

a dx -f- 77 rr- r- 77 = O,

[b^ a')z-^[bc --ac')

et les variables sont séparées. Ce résultat persiste dans le cas de a'= o, y = o; mais, si Ton aa=o, i=o, il faudra employer la transformation

a'x -h b'jr = z.

Intégration de l'équation linéaire du premier ordre.

658. Une équation différentielle du premier ordre est dite linéaire lorsqu'elle est du premier degré relativement à Tune des variables et à sa dérivée; une telle équation est donc de la forme

(i) g-+.Xr-^Xi = o,

4l4 CALCUL INTÉGRAL.

X et X| étant des fonctions données de la variable indépendante X.

On peut intégrer facilement Téquation (i) en y exécutant la séparation des variables. A cet effet, posons

z étant une nouvelle variable et 0 désignant une fonction de X que nous nous réservons de déterminer à volonté. L'équation (2) donne

^ ' dx a.r dJf

dr

et, en substituant les valeurs dej^etde ^ dans l'équation (1), on obtient

Maintenant nous pouvons déterminer la fonction & par la condition qu'elle satisfasse à l'équation

de (5) ^+X« = °'

et l'assujettir en outre à se réduire à l'unité pour x= j:©. L'équation (5) est une équation diiférentielle dans laquelle on peut séparer les variables en l'écrivant comme

il suit|

de

-r- -h X rfa? = 0,

et l'on en conclut

(6) ioeo=-j -■ -

Xdx, ezz^e