CHAPITRE Y II
fonction donnée de x, on pourra trouver l'intégrale générale. Pour cela, il suilira de poser
* djr dx cLx
z étant une nouvelle variable. Comme on a, par hypothèse,
^ -hXY«H-X,Y-hX,=o,
l'équation transformée en z sera
[i\ ^ -h fXi-4-2XY)3-hXz= = o.
^ ' dx "
Cette équation (2) est comprise dans celle que nous avons considérée au numéro précédent^ et elle répond au cas de /i = 2; on pourra donc obtenir son intégrale générale en appliquant Tun ou l'autre des procédés que nous avons indiqués.
Par exemple, Téquation
^ -+- Xj« -h Xtr- (X.rî >'r X,x -1- l) =^ O, €tx
est satisfaite quand on posej^ =:x; donc la substitution ramènera cette équation à la suivante :
^ -h (X, 4-2X.r)3-hX3*r=0.
ax
De l'équation de Riccati.
663. L'équation dite de Riccati appartient à la classe de celles dont il a été question au numéro précédent ;
4aO CALCUL INTÉGRAL.
cette équation est la suivante :
a et J étant des coefficients constants.
Dans le cas de m = o, les variables se séparent immédiatement; on a
dy .
-j- aux •=. o,
d'où, en intégrant et en désignant par c une constante»
Si l'on résout par rapport à j , on trouvera
a(x — C'\/- — fltx— r)i/-
lorsque - est négatif, on peut écrire (n° 368)
L'équation (i) est intégrable, dans certains cas, par le moyen des fonctions algébriques et logarithmiques ou circulaires; la marche que nous allons suivre dans cette recherche consiste à ramener l'équation différentielle à une autre de même forme, et dans laquelle l'exposant m soit nul.
CRAPITRE VTI. 4^^
G64. Nous ferons d'abord la transformation suivante:
Y étant une nouvelle variable et M, N désignant des fonctions de x que nous pourrons déterminer à volonté ; on aura aussi
dr „ dr' , <fM d^
«X dx tLr. dx
et, si Ton substitue ces valeurs dans Téquation (i), il viendra
dx 1
Posons maintenant, pour déterminer M et N,
-— -h riN* = o, -3 h a«MN = o.
o^ dx
Dans la première de'ces équations, les variables se séparent immédiatement ; on peut écrire
et il en résulte
Nous prendrons
— — 4- flx = const.
ax^
Tautre équation devient alors
-7- H =0 ou —- -\ = o,
dx X s\ X
4^2 CALCUL IHTÊGRÂL*
et, en intégrant,
logM H- log^ =: const. ou Mj?* = consl,; nous prendrons
en sorte que la transformation employée sera
f \ ri
' .rr ax
et elle donnera pour transformée
' ' dx x^-^
Dans le cas de m = — 2, cette équation devient
dr' , r'»
- - =1 ^ — û • — 9 dx X*
et, comme le second membre est une fonction du seul
y' rapport— 5 elle est intégrable par le procédé du n°t>o4-
Ainsi notre transformation permet d'intégrer Téquation de Riccati lorsque m = — 2.
L'équation (3) n*a plus la forme de la proposée, mais on peut l'y ramener par un nouveau changement de variables ; nous ferons
y -, X xi""*».
d'où
dy'-^
^yi j- '
fi /w -h 3 *
r/xj ;
si l'on substitue ces valeurs dans Téquation (3), et qae
