CHAPITRE VII

l'on fasse, pour abréger,

^ ^ * «1-1-3 i/iH- 3 /n + 3

il viendra

Cette équation est toute semblable à Féquation (i); elle est intégrable lorsque mi =0, ce qui donne m = — 4î donc Téquation (i) est elle-même intégrable dans cette hypothèse.

665. La transformation par laquelle on passe de l'équation (i) à Téquatiôn (6) peut être appliquée à celleci, et, en poursuivant la même marche, on obtiendra une infinité de transformées successives, qu'on peut représenter d'une manière générale par

Si Ton rencontre une transformée dans laquelle mi soit nul; cette transformée sera intégrable comme on Ta VU; et toutes les transformées qui précèdent le seront aussi. Il est facile de trouver les cas dans lesquels cette circonstance se présente.

Désignons par Om la fonction de m définie par la formule

et faisons, pour abréger, il est évident que Ton aura

et Ton trouve (voir mon Cours d'Algèbre supérieure, 4' édition, t. II, p. 356)

nti =z — ^ ;

im-\- ^11 -\- \]

cette formule s'accorde avec les formules (5) pour i= i, et il est facile de s'assurer que, si elle a lieu pour un indice i, elle subsiste pour Tindice f H- 1 .

D'après cela, pour que l'on trouve m,- = o, il faut que Ton ait

Il — I

Lorsque le nombre m a cette forme, i étant un entier positif, l'équation de Riccati est intégrable par le moyen des fonctions algébriques et logarithmiques ; mais il existe, comme on va voir, un autre cas d'intégrabilité. En effet, si l'on fait la substitution

dans l'équation proposée (i), on trouvera la transformée

aX m -h I

qui a encore la même forme, et, d'après ce qui précède, cette transformée et la proposée seront intégrables si l'on a

— m Li 4' = ~ — ou m = — •

m -HI 21 — I 2/ H- 1

Donc, en résumé, nous savons intégrer l'équation de Riccati lorsque le nombre /n a la forme