Uéquation différentielle

Pi/x H- Q^/x- = o

s'intègre aisément (n° 6o7) lorsque P et Q sont des fonctions linéaires des deux variables x etj^. Euler et d'autres géomètres après lui ont étudié le cas où P et Q sont des fonctions entières du deuxième degré, mais ils n'ont pu trouver l'intégrale qu'en restreignant la généralité des polynômes P et Q.

Les équations différentielles de la forme dont nous parlons, et que l'on était parvenu à intégrer, sont comprises, comme cas particulier, dans une équation générale dont nous allons nous occuper et pour laquelle Jacobi a donné le premier une méthode d'intégraliou. L'équation dont il s'agit est la suivante :

(l) lj[xdx -- ydx) — M^r'-l-N^/arrrtO,

où L, M, N désignent des fonctions linéaires données,

savoir

IL = A -h A'o: + AV, N = C-hC'^-4-CV,

A, Pl, ... étant des constantes données. La méthode que je vais exposer ne diffère pas au fond de celle que Jacobi a fait connaître.

4^6 Soient

CALCUL IMTéGRAL.

U = fl -h bx -»- C/,

trois fonctions linéaires dont les coefficients sont indéterminés ; posons en outre

(4) I a' - h"c - ^c\ g' -. c''a - rrt", 7' : -: a'b - «/r-', ( oi! ^ bc' — 6'c, 6"::=: ca* — c'a, 7" = ab' --a' h

et

(5) t^ — a[b'c"—b"c[) •^b[ea"'-c'*a')'\-c[a'b"'--a"bf]\

on aura évidemment

I aa -}-«'«' -h a" 9^^=

aS -»-«' e'-h«"ê"rrr

ca H- c'a' H- <:"a" ~ O, ce 4-c'ê' -+-c"ê" — o, I cy -h c'y -h c"7" = A,

et à cause de ces relations, les formules (3) donneront

A =:«U-4-cc'U'H-a''U",

A:r= eu -4- ê'o'-he*u%

Aj=::7U-hy'U'-H7"U^