B-^7, BY

e = c« -h ce -^ C'y,

et que Ton ajoute les équations (7), après les avoir multipliées respectivement par A, A', A''^, puis parB, B', B'', puis enfin par C, C, C\ on aura

1 AL = XI] -f- X'ir -4- A/'U",

Les équations (3) donnent par la diflférentîatîon dV=bdx-\-cdx, d\V — b'dx-^e'dx, d\}" =1 b" dx -\- c^ dy, à cause des formules (4)i on déduit les suivantes : \Y d\}" — C^f U' = a (4:r/j — J^) — € c(r -H 7 ^.r, XJ^c/U — U d\]*' -. a' (j-r/j — r^*^) — ^dy -+- 7'r/x,

u ^13' — u'rfu = a'(xrf7 — r^-^) — ^"^f -+- y*'^.

et celles-ci donnent, en faisant usage des formules ((^),

4si8 CALCUL INTÉGRAL.

Nous allons maintenant substituer dans Téquation proposée les valeurs de L, M, N, xdy — ydxy djeidx tirées des formules (9) et (10). Le résultat de cette substitution sera une équation entre les variables U, U', U'' et leurs différentielles; Tune de ces variables est exprimable par les deux autres au moyen de la première équation (7), mais il vaut mieux, poùrnotre objet, les conserver toutes les trois. Les neuf constantes des polynômes U, U', U" étant indéterminées, nous les assujettirons à satisfaire à six relations, et, en introduisant trois nouvelles indéterminées X, X', \" j nous poserons les neuf équations

fl X H- ^ iftj 4- c G — A>, a X' '\- b Ub' -»- c G' = o, a X"-\-b Ub" 4- c G" = o,

a' cl> 4- b' ift) -}- c' G — o, / a' X -h b' Ui,' 4- c G' — A V , a' A/' ^ b' ^S),"

a^X 4- 6" 1)1 4- c^Q^ = o, a"X' 4- 6" Ub' -4- c"G' ^ o, a^X''-^- ^^'''UV'4- c^G"= Ar.

Alors l'équation proposée deviendra, après la substitution dont nous venons de parler,

(V— X'')U'U"^U4-(X''— >)U''U^U'4-(> — V)UUVU"=o

ou

(12) (v-r) — 4-(r-M ur+(>-v)-^=o.

Dans cette équation, les trois variables sont séparées ; en intégrant et en désignant par H une constante arbitraire, on a

(i3) (V-r)logU4-{r->)logU'4.(X-V)logU''=logH,