CHAPITRE YII

et, si l'on convient de représenter par IP'"^' la quantité dont le logarithme est (X' — X'') logU, même dans le cas, où X' — X" et U sont imaginaires, l'intégrale de Téquation proposée sera

u reste à calculer les coeflicients des fonctions U, U', U'^, ainsi que les exposants X, X', X". A cet effet, considérons les trois équations du premier des groupes (ii); ajoutons ces trois équations après les avoir multipliées respectivement par a, ci y a!', puis par i, b'^ V\ puis par c, {/, d'\ il viendra, à cause des équations (8) et (6),

I(A— X)a-hBA -hCc=:o.

Il est évident qu'en opérant de la même manière sur les équations des deux derniers groupes ( ii ) on obtiendra deux systèmes d'équations qui peuvent se déduire du système (i5), en remplaçant a, A, c, Xpar al y b'y c/, X', puis par a" y b"y d'y X".

Les équations (i5) sont homogènes par rapport à a, by Cy et, si l'on élimine entre elles ces trois quantités, on obtiendra une équation du troisième degré

dont le premier membre aura pour valeur le déterminant

A" BT C— X

ainsi Ton aura

(F(Xj = (A-X)(B'->](C'-l)-B''C'{A->) l'7J I —A'ClB'— X; — A'B(C— X] + A'B''C-l-A"BC'.

43o CALCUL INTÉGRAL.

Les équations (i5) ne peuvent déterminer que les rapports de deux des trois constantes a, &, c à la troisième. Si Ton fait, pour abréger,

B' C" - B'^C rr: D,

on aura, par les deux dernières équations (i5),

il est permis de prendre ces rapports égaux à Tunité, et alors on aura

(19) a=:D— E>H->S * = D'-hA'>, c = D"-hA"X.

Il est évident que Téquation (16) a pour racines les trois quantités X, X', ^1', et si l'on remplace dans les formules (19) ^ par y et par V', ces formules donneront les valeurs de a', A', d et de a", V\ cP. On a donc en résumé

{20) I U'=:;D-EV-i-V*;4-,D'-T-A'V)^-^(D"4-A''V)r,

( U"r:r;D-Er-f-X''«)H-(D'-+-A'r)x-+-(D''4-A"r;r,

en sorte que, pour intégrer Téqualion différentielle proposée, il suffit de résoudre Téquation du troisième degré (16).

687. L'intégrale (i3) ou (i4) que nous avons obtenue devient illusoire lorsque l'équation (16) en X a des racines égales ; mais il est facile de déduire de notre analyse la solution de ce cas particulier. Si l'on pose

logU=/(X),