CHAPITRE VTI. 4^ï

l'intégrale (i3) sera

[il) (V— r)/(>)-f-(r~>)/(V)-h(;-V)/;r)=:const., ou, en faisant X'= X + A et en divisant par A,

(r-i)-^i^-tALlZii' H./(X) /(x" =const.

Les coefficients A, B, . . . de Féquation proposée étant regardés d'abord comme des indéterminées, faisons-les tendre vers certaines valeurs pour lesquelles Téquation correspondante en X ait deux racines égales. Pour chaque système de valeurs des coefficients, Téquation précédente constitue l'intégrale de la proposée ; la même chose subsistera donc à la limite, et Ton aura pour cette intégrale

(il) (r->)/'(>)-4-/(X)-/(X") = const.

ou

(23) (V'-X) ^1 -f-logU-logU"r=:const.,

U| étant ta dérivée de U prise par rapport à X, savoir

(24) U, = :2X — E) -4-A'x -hA^f.

Si l'on pose X" = X-f-A dans l'équation (aa), il

A' viendra, en divisant par »

— = const.

Supposons que les coefficients A, B, . . . ne soient assujettis qu'à la seule relation nécessaire pour l'égalité de

deux racines égales de réquation(i 6)^61 faisons-les tendre vers des limites déterminées qui répondent à une équation (i6) dont les trois racines soient égales; à la limite l'équation précédente deviendra

/^(>)=i:const.,

,^^-u /aux» „,^

ou enfin

(25) HU'-f-U; — 2U=o.

Ainsi, dans le cas où Téqualion (i6) a ses trois racines égales, rintégrale de la proposée est une équation du deuxième degré.

Considérons, par exemple, le cas où Téquation (i6) a trois racines nulles. On a d'abord

U = D -^ D'x -h l>y, Ui= A-f- A'x H-A'^ = L,

puis

DL + D'M-f-D''N = o,

AL-hA'M-i- A'^N^U,

ainsi qu'on le reconnaît facilement. Si l'on regarde A, A', A", D, D', D'^ comme des quantités données, et que les fonctions M, N soient déterminées par les deux précédentes équations, l'intégrale de l'équation différentielle

lt[xdjr — X^^) — Miff -h Nrfar = o

sera

HU»— 2U 4-L* = o,

II étant la constante arbitraire.