CHAPITRE VII

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Cas des équations différentielles F(x,j^,-^| = o, qui sont pas résolues par rapport à -j- •

668. Nous n'avons considéré jusqu'à présent que des équations différentielles résolues par rapport à la dérivée qui y figure ; nous allons examiner ici quelques cas dans lesquels on peut obtenir l'intégrale demandée, bien que l'équation difTérentielle proposée, savoir

ne soit pas résolue par rapport à —-•

I® D'abord, si l'équation proposée ne renferme ni x Tnxjj elle est de la forme

et elle exprime que

a étant une racine de l'équation F (a) = o. L'intégration donne y = dx + G, G étant la constante; on tire

de là a =: » et Ton a, par suite,

pour l'intégrale demandée.

2^ Lorsque l'équation proposée ne renferme pas y y l'intégration se ramène aux quadratures en résolvant

dr l'équation par rapport à —-• Si cette résolution ne peut

S. ^ Cale, int, a8

pas être exécutée, mais que Ton sache résoudre l'équation par rapport à x, on pourra encore ramener le problème aux quadratures. Posons en effet

— =zp^ d'où efyzzzpdx,

et supposons qu'on ait tiré de Téquation proposée

on aura aussi, par la différentiation, dx =J'{p)dp ou,

à cause de dx ^^^ — 9

c'est là une équation différentielle dans laquelle les variables j^ et p sont séparées ; on en tire par l'intégration

C étant la constante arbitraire. On a ainsi deux équations qui expriment les valeurs de j: et de j^ en fonction de^; lorsqu'il sera possible d'éliminer p entre ces équations, l'intégrale de la proposée sera exprimable par une équation entre x, y et G.

3° Lorsque l'équation proposée ne renferme pas x et qu'on peut la résoudre par rapport à y, on obtient l'intégrale demandée par le procédé que nous venons d'employer. Car si l'on fait, comme précédemment,

l'équation proposée prendra la forme