CHAPITRE Vil
examiné avec attention. L'équation (i) est alors
etTéquation (a) qu'on en tire par la différentiation se réduit à
(6) [ar+f(p)]6!p = 0.
On a donc
(7) dp^o
ou
Considérons d'abord l'équation (7); elle nous donne par l'intégration
C étant une constante, et, en substituant cette valeur dans l'équation (5), il vient
(9) jr = Cx + ,j,(c),
ce qui est l'intégrale générale de la proposée, comme on l'a déjà vu au n^ 651.
Considérons en second lieu l'équation (8) : si l'on en tire la valeur de p pour la substituer dans l'équation (5), on aura une solution de cette équation différentielle qui n'est autre chose que la solution particulière dont nous connaissons l'existence. Ce résultat s'accorde avec la théorie des solutions particulières que nous avons développée dans le Chapitre précédent; effectivement l'équation (8) n'est autre chose que la dérivée de l'équation (5)
prise par rapport à — ; l'élimination de p doit donc donner la solution particulière. On voit aussi que le calcul nécessaire pour cette élimination est identique à celui
qu'exige rélimination de C eatre Tintégrale générale (9) et sa dérivée relative à C.
Application à quelques exemples.
672. Problème I. — Etant donnés deux points F et F' dont la distance est 2C, trousser une courbe telle que le produit des distances de ces points à chaque tangente soit égal à une quantité donnée b^.
Prenous la droite FP pour axe des x et la perpendiculaire menée à cette ligne par son milieu O pour axe
des^; en faisant -j- z=z p^ l'équation de la tangente au
point {Xyj) de la courbe demandée sera
Les distances FH, F'H' de cette tangente aux points F et F' ont pour valeurs
Téquation du problème sera donc ou, en faisant a^ = c^ zfc A',
y^z=ipx'\' ^a'^p*zt 0\
CRAPITRE VII* 4^9
L'intégrale générale de cette équation sera(n® 671), en désignant par C la constante,
elle représente des lignes droites ; mais la véritable réponse au problème proposé est donnée par la solution particulière de Téquation difTérentielle, pour laquelle on a
