CHAPITRE VU

et l'on aura

y — px rtOS=r— />^» zhOTn^ — ^ — ^?

l'équation du problème sera donc

ou

np

(i) y^px-^

slx^p^

Comme dans les deux problèmes précédents, Tintégrale générale s'obtiendra en remplaçant p par une constante, et la solution particulière qui représente la courbe demandée s'obtiendra en éliminant p entre l'équation différentielle et sa dérivée relative à p, savoir

(2) o^JCH -•

Des (équations (i) et (2) on tire

élevant ces équations à la puissance ^ et ajoutant ensuite^ on obtient l'équation

qui représente une épicycloïde engendrée par un cercle de rayon égal à j roulant dans l'intérieur d'un cercle de

rayon a.

Ce résultat peut être établi très simplement par des considérations géométriques. En effet, construisons sur

44^ CALCUL IMTÉGRAL.

OS et OT le rectangle OSKT; joignons OK, qui rencontre ST en H, et décrivons le cercle AKB du point O comme centre avec le rayon OK = a ; décrivons enfin le cercle O' sur HK comme diamètre, et soit M le point où la circonférence de ce cercle rencontre de nouveau la droite ST. L^angle KHT est double de KOA et il est moitié de KO'M; ce dernier angle est donc quadruple de KOA; d*ailleurs le rayon O'K est le quart du rayon OK; donc les deux arcs de cercle KM et KA sont égaux entre eux. Il résulte de là que le lieu du point M est une épicycloïde dont l'origine est en A ; nous savons que MH ou ST est tangente à cette épicycloïde, qui est ainsi l'enveloppe de la droite mobile ST.

Du problème des trajectoires.