CHAPITRE VII

les coefficients d'inclinaison des tangentes en M aux deux courbes, par Y la tangente de l'angle donné des mêmes courbes : on aura

I 4- cci •

le coefiicient c est la valeur de — tirée de Téquation (i); par conséquent, on a

dy ensuite, C| étant la valeur de-p- relative à la courbe de-

mandée, on a

d¥ àFdj

dx ày dx

dF^dF dy^

dy dx dx

, , /ÔF ^, dF\^r fdF ^àF\

(^) [d?-^''Tx)£-^[Tx-'''d?) = ''^

et, si l'on élimine a entre les équations (1 ) et ( a), on obtiendra une équation résultante

qui sera l'équation différentielle des trajectoires demandées.

Dans le cas des trajectoires orthogonales, on a V = 00 , et l'équation ( 2) se réduit à

,,, dF dF dy

(4) ^'ÂÏSi'^^?

444 CALCUL HfTÉGKAL.

l^éliminatîon de a entre les équations (i) et (4) sera l'équation différentielle des trajectoires orthogonales.

676. Exemple I. — Trouver les courbes qui coupent sous un angle constant et donné les courbes représentées en coordonnées rectangulaires par l'équation

La valeur de ^ tirée de cette équation est maj:'"""* ou m -^ si donc on désigne par - la tangente de Tangle

X ri

donné, l'équation différentielle des trajectoires demandées sera

OT - -h -7 T A-

Le second membre de cette équation est une fonction de - ; on pourra donc intégrer par la méthode du n° 654.

Examinons le cas de m r= i : les courbes données 'se réduisent à un système de droites passant par l'origine; l'équation différentielle est alors

xdx-^ ydy=. k[xdjr — ydx].

On reconnaît immédiatement que xdj — jdx est la différentielle du double du secteur formé par le rayon vecteur du point (j:,j^) avec un rayon fixe, et dans le système des coordonnées polaires cette même différentielle est exprimée par p'rfo). Pareillement xdx-^jdj est la demi-différentielle pdp du carré p^ ; on a donc

udp = Aû*db» ou -^ z= Âdoà,

de X

X dx

crapithe VII. 44^

et l'intégration donne

G étant la constante arbitraire. On voit qne les trajectoires demandées sont des spirales logarithmiques, ce qui s'accorde avec la propriété connue de ces courbes (n^ 247).

677. Exemple II. — Trouver les trajectoires ort/iogonales d'un système d'ellipses homofocales.

L'équation des ellipses données est

p désignant le paramètre variable et b une quantité donnée. La difTérentiation donne

xd.T ydr x

dx -^ ydy

et Ton tire de là

X* X xdx -h ydr r*

X xa.r-\rydx

f dx b'- ' p* — b*-

dy b'

puisy en ajoutant.

[xdr — xdx] [x€ix -h

Mr) ,

b^dxdf

Cette équation appartient aux ellipses données. Pour en conclure celle des trajectoires orthogonales, il faut

remplacer ~ par — -^ ou djr par — dx et dx par rfy;

or l'équation reste la même après un tel changement: donc son intégrale reste aussi la même, et par conséquent l'équation des ellipses données représente en même temps les trajectoires demandées. Seulement, pour distinguer

44^ CALCUL IMTÉGRÀL.

les deux systèmes, il faut remplacer p* par un autre paramètre fx^ et écrire

Si l'on suppose [i^<^b^, cette équation représentera des hyperboles qui ont mêmes foyers que les ellipses données et qui coupent celles-ci à angle droit.

678. Exemple III. — Trousser les trajectoires orthogonales des hyperboles équilatèr es dont le centrée est en un point donné et qui passent par un second point donné.

Dans le système des coordonnées polaires, les hyperboles données ont pour équation

fl*ros2a , V A'sin2&}

p'= ; ; OU COt(2« — ia]=: ~ 9

' cos(2w — olcl) çr — û'cosaw

a étant le paramètre variable et a désignant la distance du point donné au centre commun. La diflérentiation logarithmique donne

(h , . ffp p^ — a* cos 2 «

— 7-=tang 2w — 2a) ou —7- = ^^ — 5-: •

patù ' paw â'sm2w

Or —j- est la tangente de Tangle formé par la normale

de la courbe avec le rayon vecteur; on obtiendra donc Téquation différentielle des courbes cherchées en prenant

pour— j- l'inverse changé de signe de la précédente expression; on a ainsi

dp a* sin 2 w

pdcû a^C0S2bi — p* ou

—^ ; =:= ia^cosata) -h 20.

dp p'

ch/ipithe yii. 447

Cette équation est linéaire quand on prend pour variables a^cosaw et p ; en désignant par a* — b* la constante arbitraire, on trouve l'intégrale

fl'cosaw = — r rp*-h fl* — 6*1

p* — 2a*p'cosa6> -»-«* = A*;

cette équation, dans laquelle b est le paramètre variable, représente un système d'ovales de Cassini (n^'SCîo) ayant les mêmes Joyer^s.

Des/acteurs propres à rendre différentielle exacte une expression de la forme Vdx •+- ^dj,