Soit l'équation difTérentielle

dx

dy résolue par rapport à la dérivée -jr- \ on peut poser d'une

inflnité de manières différentes

P et Q étant des fonctions de x et j^; alors l'équation proposée prendra la forme

Prfx-4- Q^-=r o.

Si les fonctions P et Q ont été choisies de manière

que Vdx -hQ^dy soit une différentielle exacte quand on

regarde x et y comme des variables indépendantes, et

que l'on ait

du = Vdx H- Qr/r,

u étant une fonction de x et de j^, il est évident que Finr

tégrale de Téquation dilTérentielIe proposée sera

// =r const.

Sî, après avoir choisi les fonctions représentées par P et Q, on veut en prendre d'autres, celles-ci seront respectivement égales aux premières multipliées par un même facteur vf, et l'équation différentielle proposée aura la forme

uPdjc -\- vQdjr 3= o.

Alors, si le premier membre est la différentielle exacte d'une fonction u des variables x et j^, l'intégrale de l'équation proposée sera, comme on vient de le dire,

u =z const.

Les fonctions P et Q ayant été choisies à volonté, il existe toujours un facteur v qui réalise l'hypothèse dans laquelle nous venons de nous placer ; c'est ce que nous nous proposons d'établir ici.

680. Théorème I. — Soient P ef Q deux fonctions données de deux variables indépendantes x, y ; il existe toujours un facteur v tel, qu'on obtient une différent tielle exacte en multipliant par ce facteur l' expression Pdx -hQdj.

En effet, considérons l'équation différentielle

(l) P/£r-i- Qr/j — o;

nous savons que cette équation admet une intégrale, et si l'on suppose cette intégrale résolue par rapport à la constante arbitraire qu'elle renferme, elle aura la forme

u étant une fonction des variables x et y. L'équation (2)