CHAPITRE I. II

OU

nous n'ajoutons pas de constante , puisque chaque intégrale comporte une constante arbitraire.

La formule précédente exprime, comme on va voir, la règle de Fintégration par parties. Soitj^rfj: une différentielle donnée ; parmi les manières en nombre indéfini de décomposer j^rfj: en deux facteurs, choisissons-en une telle, que l'un des facteurs soit la différentielle d'une fonction connue Vj et désignons par u l'autre facteur; alors on aura

rda: = a -— dx.

et, d'après la formule (i), l'intégrale de la différentielle ydx pourra être décomposée en deux parties, savoir : une pai'tie intégrée u{f et une partie non intégrée

— ) dx. C'est donc à l'intégration de la différen-

^ dx) tielle f^ — dx que se trouve ramenée celle de la diffé-

rentîellej^rfj: ou u -7- dx. Si la nouvelle différentielle est

plus simple que la proposée, on aura fait un emploi avantageux de l'intégration par parties.

Si l'on veut prendre les intégrales de la formule (i) de manière qu'elles s'annulent pour x=a:o, il est nécessaire de tenir compte de la constante arbitraire qui accompagne l'intégrale de l'un des membres, celle du second membre par exemple. Cette constante est évidemment égale à la valeur changée de signe que prend la partie intégrée uv^oviV x=X(i\ donc, si l'on désigne paruo et Vo

ï^ CALCUL rHTÉGRAL.

les valeurs de u et de f^ qui répondent à x = Xo, on aura on écrit aussi, quelquefois,

■ jr(4)^=w;-jr(4).-.

le symbole [wm]* exprimant la différence ui/ — uo •'o ou

tX

d{up)

l'intégrale / '~j^^^'

415. Exemples. — Nous aurons l'occasion, dans ce qui va suivre, de faire des applications nombreuses du procédé que nous venons d'indiquer ; il convient cependant d'en présenter ici des exemples.

i^ Considérons d'abord l'intégrale

logxtùc

et prenons

on aura

u = logo;, v = x^ d*où —- cfr =:: dxy

/C dx logx dx = x \ogx — \ X — j

l'intégrale du second membre se réduit à l dx^ c'est-àdire à X + une constante ; on a donc

c étant une constante arbitraire. Dans cet exemple, l'intégration par parties permet de trouver la valeur de l'intégrale proposée.