CHAPITRE I. l
a® Considérons l'intégrale
décomposons la dififérentielle en deux facteurs
or'", e^ dx^
dont le second est la différentielle de — e"^ ; les fonctions que nous avons désignées par u et f/ sont ici x^ et — c"-* ; on a donc
l x"^ e"^ dx z=z — x'^er^ -^m ji
L^ntégrale proposée est ramenée à une autre intégrale de même forme et qui ne diffère de la première qu'en ce que l'exposant m de a: est remplacé par m — i . Si le nombre mest positif, la nouvelle intégrale est plus simple que la première ; le contraire a lieu quand m est négatif, et, dans ce dernier cas, c'estl'intégrale du second membre qu'il faudra regarder comme réduite à celle du premier; écrivant — w-h i au lieu de /n, la formule précédente donnera
xr^€r^dxz=z 1 \ x^-^er^dx.
Supposons que m soit un entier positif, et posons, pour abréger,
e-'dxy oLjf^zzz-^x^^e-^^
on aura, par la formule trouvée plus haut, en remarquant que a^ s'annule pour or = o.
l4 CALCUL INTÉGRAL.
et; en donnant à m les valeurs i, 2, S,..., m, il viendra
I/, = «j -h 2tfj,
«i»=am-i-'W"«-i;
ajoutant ces équations, après les avoir multipliées respectivement par les facteurs
il viendra
or
I c"-*djr = — er^ -h const.,
d'où
on aura donc
x^er^ dx
416. Intégration par substitution. — Le procédé d'intégration qu'il nous reste à indiquer consiste dans le changement de la variable indépendante ; ce procédé et celui de l'intégration par parties constituent les ressources principales de la partie du Calcul intégral dont nous nous occupons.
^o\\.f{^x)dx une différentielle donnée; si l'on prend une nouvelle variable indépendante t liée à x par une
GHAPITUE I. iS
éqnatîon telle qne
on aura
et, par conséquent, il en résultera
SîTon sait intégrer la différentielle (f(f)rf« et que l'on ait
on aura aussi
I ^(t)dt=zW{e) -h const.,
et, en remettant au lieu de t sa valeur exprimée en a:, on aura
j/(x)€lx = F{x)-h const.,
F(x) étant une fonction connue.
L'emploi de la méthode de substitution peut être trèsutile, même lorsqu'elle n'a pas pour effet l'intégration de la différentielle donnée ; elle permet en effet, dans un grand nombre de cas, de substituer à l'intégrale
l/{x)dx de cette différentielle une autre intégrale plus
simple j ^{t)dt.
Supposons qu'on veuille prendre l'intégrale de la différentielle /{x) dx de manière qu'elle s'annule pour
l6 CALCUL INTÉGRAL.
a:= Xo ; alors Tintégrale de la différeûtielle égale ^{t)dt devra être prise aussi de manière qu'elle s'annule pour la même valeur de x. Par conséquent, si to désigne la valeur qu'il faut donner à t pour que x se réduise à OToy on aura
Ç f[x)da:=z Ç ^[t)dt.
417. ExEiiPLES. — I** Considérons d'abord l'intégrale / (ax-f- b)^dx. Posons
, t— b ^ dt
il viendra
/[ax -{- b)"^ dx z=z - lt"^dt=- , hconst.,
(ax-i- b)'^dx= ^ '-. h const.
r dx
a° Soit en second lieu l'intégrale i —
-H px-V- q
p et q étant des quantités données, telles que l'on ait p^ — 4? <C^' ^'^ ^'^^ pose
= -î-^\/l-j'' dx=^q-l^dt.
il viendra
/dx __ I r dt
or on a
j -j = arc tangr-+- const;
