CHAPITRE VII
donne, par la difTéreatiation,
dy , et il faut que la valeur de -y- tirée de Téquation (3 ) soit
précisément égale à celle que fournit l'équation différentielle (i); on a donc
du du
Cette équation (4) a lieu en vertu de Féquation [i)j mais j'ajoute qu'elle est identique; car elle est indépendante de G, et la valeur dej^ donnée par l'équation (a) est une fonction de x et de C.
Si l'on désigne par 9 la valeur commune des deux membres de l'équation (4); on aura
du ^ du ^
et, par conséquent,
(5) i^(PcLc -h Qdy)= ^dj: -h p dy = du.
L'expression Pdx-h Qdj- devient donc une différentielle exacte, lorsqu'elle a été multipliée par le facteur ç.
681 . Théorème II. — Il existe une infinité de facteurs propres à rendre ^expression fdx-h' Q,dy une dijffe^ rentielle exacte.
En effet, nous venons de prouver qu'il existe un tel facteur, et en le désignant par ^ nous avons
v{Vdj:'^qdy) = dUy
u étant une fonction dexet dey. Si l'on multiplie cette
s» — Cttic. tnt. • ag
45o CALCUL IKTÉGBAL.
équation par une fonction quelconque ^{u) de k, il viendra
ce qui est encore une difTérentielle exacte.
Ainsi, quelle que soit la fonction (^(m), l'expression Prfx -hQ^dj- devient une différentielle exacte quand on la multiplie par le facteur i^cp(u).
J'ajoute que vf{u) est l'expression générale des facteurs qui possèdent cette propriété. En effet, soit V l'un de ces facteurs, et supposons que l'on ait
Y{Vdx-^qdjr) = dl], U étant une fonction de x et de j'y on aura
d'où
du du
dVz=-du.
Or, puisque u est fonction de x et dej^, on peut regarder y comme fonction de a: et de «; alors U devient une fonction de u et de Xy et la formule précédente montre que la dérivée partielle de U relative à x est nulle. Il s'ensuit que U est une fonction de u; il en est de même
de sa dérivée -r- j et l'on peut écrire
ou "^
'^ = r->{u) ou V=t'f(u)y
ce qu'il fallait démontrer.
682. Théorème III. — Si Y et {f désignent deux fadeurs propres à rendre l' expression Pdx-^C^djr une
chapithe vu. 4^1
différentielle exacte, et que le rapport de ces facteurs ne se réduise pas à une constante, l'intégrale générale
de l'équation différentielle Vdx-\- Çld^= 0 sera — =C, C étant une constante arbitraire.
En effet, par hypothèse, on a
et, puisque le produit V(Pf/j: -h Q^) est aussi différentielle exacte, on a, parle théorème précédent,
cp(») désignant une certaine fonction de u. Cela posé, Téquation différentielle
F€ix-{-Qfix = o peut se mettre sous la forme
son intégrale est donc u =z const., ou, ce qui revient au
même,
<f[u]z- const.
ou
G étant une constante arbitraire.
On trouvera plus loin des applications importantes de ce théorème.
683. Le facteur ç qui rend Pdxn- Qdj-une différentielle exacte ne donne pas seulement l'intégrale générale de l'équation différentielle Pf/xH- Qrf;^ = 0, mais il
4^2 CALCUL HfTÉGRAL.
fournit aussi immédiatement la solution particulière , quand elle existe.
En efiety Téquation différentielle peut être mise sous la forme
— du •=. o, et, par conséquent, elle se décompose en deux autres
du ■=zOy - = o:
la première, du = o, donne l'intégrale générale; la seconde contient les solutions particulières.
On peut déduire ce résultat de notre théorie des solutions particulières. Effectivement, l'intégrale générale
étant ici
il faut égaler à zéro, pour avoir les solutions particulières, le rapport des dérivées partielles de u — G relatives à G et à j^ ou à G et à x; la première de ces dérivées se réduit ici à — i, et Ton a
-—=0, —==0; ou du
ày ùx
à cause de
duz=zv{^dx^Çldj\^
ces équations donnent
Recherche du facteur propre à rendre Pdx -+- Q^
une différentielle exacte.
