La condition pour que l'expression
(1) vPdjc 'i-vQd/'
crapithe yii. 4^3
soit une différentielle exacte est (n** 483)
ày àx
ou
Cette équation, de laquelle dépend la fonction inconnue Vy est une équation aux dérivées partielles; la recherche de v constitue donc un problème d'un ordre plus élevé que celui qui a pour objet l'intégration de Téquation différentielle
P^^-f-Qz/^rn: o;
il y a cependant des cas dans lesquels le facteur y peut être obtenu facilement; nous indiquerons ici les plus simples.
685. Cas ou P et Q sont des fonctions homogènes DU MEME DEGRÉ. — Si P ct Q sout dcs fouctious homogènes du degré m, on peut trouver une fonction homogène 9 d'un certain degré /i, telle que
(i) rP^x-f- c'Qffj
soit une différentielle exacte.
En effet, soit v une fonction homogène du degré /i, i»P sera une fonction homogène du degré m-H n, et Ton aura identiquement (n°* 84 et 136)
La condition pour que l'expression (i) soit différentielle exacte, savoir :
454 CALCUL IlîTÉGRAL.
peut donc être écrite comme il suit :
ou, à cause de r-V^ = ^. • et x-^— ^ = \ ' — «'P, ' '^ dx ox dx ox '
de la manière suivante :
-^^ — -r ^^:L11 =z:(m 4-7i-f- ijf'P.
Le nombre n étant indéterminé, posons
OT -f- « 4- 1 = o; alors la condition (a) équivaudra à celle-ci
(3) àS^[V^^^y)\
^ ' ox
un raisonnement semblable prouverait que la condition (a) peut être mise sous la forme
(4) ^[-(PyQ.nl^o.
Les formules (3) et (4) expriment que v{Vx -f- Qjk) est une constante, et, en prenant cette constante égale à i , on a
Px4-Q/
Il suit de là que, si Pet Q sont des fonctions homogènes du même degré, l'expression
P^-+-(ir
sera une difTérentielle exacte.
CBAPITRE YII. 4^5
Donc, s'il s'agit d'intégrer Téquation différentielle (6) P^x-i-Q^jr=o, il sudGra de chercher^ d'après là méthode du n^ 483, Tintégrale de la difTérentielle — n^» ^^ ^'^^ égalera ensuite cette intégrale à une constante arbitraire.
Si le premier membre de Téquation ( 6 ) est une différentielle exacte, nous connaissons deux facteurs, savoir: f\Z^^ Impropres à rendre Prfx -hQ^d/y différentielle exacte ; si donc on égale à une constante C le quotient de ces deux facteurs, on obtiendra (n^682) rintégrale générale de Téquation (6), laquelle sera
Vx -+■ Q j = C.
Il faut remarquer que la méthode précédente ne diffère pas au fond de celle que nous avons emploj^ée au u9 654 ; car soit
le premier membre de Téquation (6) se réduira à ou, en posant j^ = xz, dj = xdz -^ zdxy à
C'est par cette transformation que nous avons effectué la séparation des variables au n^ 654, et l'on voit que l'expression précédente devient une différentielle exacte, si on la muliplie par le facteur
Q^[z-/(z)]-px + Q7
4S6 CALCUL IHTÉGRÀL.
686. On peut encore déterminer facilement le facteur i^y propre à rendre
une différentielle exacte, lorsque ce facteur ne dépend que d^une seule variable x ou^. Supposons , par exemple, que u ne dépende que de x, alors on aura -r- = o, et r équation (a) du n® 688 deviendra
'Il ^ ^
f/.r dy dx
Notre hypothèse exige donc que Ton ait
ôy dx
X étant une fonction de x. Si cela a lieu, on aura
( dv
— =3 X dx.
XflKa: +00081.,
et Ton pourra prendre
Supposons, comme cela est permis, Q rr- 1; dans ce
dP cas, la dérivée -j- est indépendante de j^, et Ton a
X et Xj étant des fonctions de x\ par conséquent, Tex-
