CHAPITRE Vit
pression proposée a la forme
et le facteur qui la rend intégrable est e '• . D'après cela, pour intégrer Téquaiion linéaire
df-h (Xj4-Xj)d:rzz=o,
dont nous nous sommes déjà occupé au n** 658; il suffit de la multiplier par le facteur que nous venons de trouver; elle devient ainsi
rfre"*
Xdx
Xt^-f-
i Jidx
e '• Xi dx r-= o.
d'où, par
l'intégration,
1 \dr
C étant la
constante arbitraire.
687. Examinons enfin le cas où l'expression Prfjr-f-Q^-^ devient une différentielle exacte, quand on la multiplie par un facteur v de la forme XY, X et Y étant respectivement des fonctions de x et dej-. L'équation de condition est ici
d(XYP) (?(XYQ) ôjr "^ djr ^
ou
ôj d j: "" ^ X Y '
ce qui exige que la différence -r ^ soit de la forme
Lorsque cette condition est remplie, on peut faire
d*où
•^'« , Y = e^y , i^ = XY.
application du Calcul intégral à la démonstration des propriétés fondamentales des transcendantes simples à différentielles algébriques.
688. Le Calcul intégral conduit très-aisément aux propriétés caractéristiques des logarithmes et des fonctions circulaires inverses. Si la théorie de ces transcendantes n'avait pas été préalablement constituée, on en aurait certainement posé les bases dès les premiers pas que Ton eût faits dans la théorie des équations différentielles, comme cela est arrivé effectivement à l'égard des fonctions elliptiques et des transcendantes à différentielles algébriques plus composées Je me propose d'entrer ici dans quelques développements à ce sujet.
Considérons l'équation différentielle
dx dy
les variables sont séparées, mais l'intégration de chaque terme exige la notion des logarithmes. Si cette notion n'est pas acquise, l'intégrale devra être représentée par
Si l'on veut que la valeur de y se réduise à une quantité donnée z pour x = i , il faudra déterminer la con-
CHAPITBE Vn. 459
stante par la condition
/•>-= c ou n-^=c,
en écrivant z au lieu de y sous le signe i ; alors notre intégrale sera
D*un autre côté, il est évident que l'équatîon (i) admet une intégrale algébrique; car si Ton chasse les dénominateurs elle devient
ydx -\- xdf z=LO ou ^{x^)=o;
rîntégrale est donc
xyzzz const.,
et, si Ton détermine la constante de manière que l'on ait j^ =: « pour j: = i , on aura
(3) JTjrrrZ.
On voit que les équations (2) et (3) expriment la même relation entre les quantités x^y^ z\ en d'autres termes, elles sont équivalentes.
Puisque la transcendante 1 — nous apparaît pour
la première Ibis, il faut lui donner un nom; je choisis celui de logarithme , et je pose
dx .
— = logx;
alors la formule (a) nous donne, en mettant xy^u lieu
de Zf
Iogxr = logx-Hlog^,
ce qui est la propriété fondamentale des logarithmes.
46o CALCUL 12<TÉ6IIÀL.
Au lieu des logarithmes nous pouvons introduire les fonctions inverses. Soient
C'dx C^€ly r^dz
u étant une fonction de x, on peut regarder x comme fonction de u; désignons cette fonction par le symbole e", on aura
et les équations (2) et (3) deviendront
tt + f — w, e",e*' = e*^, d'où
ce qui exprime la propriété fondamentale de ia fonction exponentielle.
