Considérons l'équation
iix dr
L'intégrale, prise de manière que^ se réduise à z pour
46q calcul IJXTtoVLkL.
x = Oy sera évidemment
mais, si Ton multiplie l'équation (7) par le facteur \l\ — x^ yji — y ^ — xjTj elle deviendra
ou
l'intégrale de Téquation (7), prise de manière que l'on aitj^ = 2 pour x=o, peut donc se mettre sous la forme
(9) x^\ — j* -+-7 sji — x* = z.
En outre, le premier membre de l'équation (7), qui est une différentielle exacte, demeure une différentielle exacte quand on le multiplie par le facteur
il suffit donc (n°682) d'égaler ce facteur à une constante pour avoir l'intégrale de l'équation (7). Si Ton détermine cette constante par la condition que l'on ait j = z pour x = o, on aura
(10) ^i — x^ sl^ — x^ — -^r^ v^i — 2*»
en sorte que chacune des trois équations (8), (9), (10) exprime la même relation entre les quantités XyjjZ\ les deux dernières sont algébriques, tandis que la première renferme des transcendantes.
CHilPlTIlE TH. 4^3
Posons
u étant fonction de a:, nous pouvons regarder x et
^i — x^ comme des fonctions de u; représentons ces fonctions par les symboles sinu, cosu; on aura
x= slnu, x = sin»*, 2 = sin w^
y^l — .r' = COStt, ^I — jr* = COSC, ^ — Z* =2 COSM^;
Téquation (8) deviendra
et les équations (9) et (10) donneront
sin [u -h v) =. sinu cost' -4- cosu sinp, cos[u H- «r) = cosu cosc — sinKsiof',
formules qui expriment la propriété fondamentale des fonctions sinus et cosinus. On pourrait retrouver aisément, par cette voie, les autres propriétés connues, celle delà périodicité, par exemple; mais il n^est pas utile de nous arrêter davantage sur ce sujet, et nous allons appliquer, d'après Euler, les considérations dont nous venons de faire usage à la démonstration de la propriété caractéristique des fonctions elliptiques.
Propriété Jbnd amentale des Jonctions elliptiques • 601. Considérons Téquation différentielle
OÙ h? désigne une constante donnée comprise entre
o et I. Les variables étant séparées, si Ton prend l'intégrale de l'équation (i) de manière que j^ se réduise à z pour a: = o, on aura
Ç' dx ^ Ç dy
^'^^ ^ ^ r dz ^
formule où chaque terme est une intégrale elliptique de première espèce.
Euler a reconnu que Téquation ( i ) admet une intégrale algébrique, et il est facile de trouver cette intégrale en opérant comme il suit.
Posons
Téquation proposée sera
dx dy
six ^Y
ou, en chassant les dénominateurs et en multipliant, en outre, par une fonction indéterminée T dex etdej^,
(3) T^Y^fa:-^Tv/Xr/J = o.
Or on a
CHAPITKE Vil. 465
et réqaatîon (3) peut ainsi être mise sous la forme
(4) ^ ■• A VY v/X )
\ -(arv/Y-hrv^X)^T = 0,
X' et Y' désignant les dérivées ---» --- •
° dx dy
Cela posé, on peut disposer de la fonction indéterminée T de manière que Téquation (4) se réduise simplement à
(5) 4T(xv/Y-4-.rv/x)]:^o.
Pour cela, il faut et il suffit que les autres termes de Téquation (4) se détruisent en vertu de Téquation (i). Remplaçons donc éTT par
àT ^ ^T , y- dx -h -- dy
Ox Or
et remarquons que dx et dy sont proportionnels à ^X
et — v^, d'après Téquation (i); la condition à laquelle T doit satisfaire sera
(6) I(..r-rx')-(j>^+x^)(g^-gv^)=„.
Cette équation est aux dérivées partielles ; mais il suffit pour notre objet d'en connaître une solution quelconque. Or, il est naturel de chercher s'il n'existerait pas une valeur de T rationnelle ; il est évident que, si cette valeur existe, elle doit être telle que les dérivées partielles
^ et -7- soient proportionnelles k y et x, afin que les
radicaux disparaissent de l'équation (6). On remplira cette condition en prenant pour T une fonction du pro-
S. — Calc^ inu 3o
466 CALCUL INTÉGBAL.
duit xy^ car, en désigaant par T' la dérivée de T par rapport au produit dont il s*agit, on aura
La substitution de ces valeurs dans Téquation (6) donne
r tT ^yya
Y "' -(v*X — -c»Y)' ou, en mettant au lieu de X, Y, X', Y' leurs valeurs.
S Jl^l'i
cette expression de — est bien une fonction rationnelle
du produit xy^ et cette fonction est la dérivée de
— log(i — ^^^^J"^); l'intégrale de Téquation (7) est
donc
logT :^- — log(i — A:' Jî^r'j -4- const.
Mais on peut supposer la constante nulle et Ton aura
i»-Xt.,.«ji'
cette valeur de T satisfait à Téquation (6), et par conséquent Téquation (i) peut se mettre sous la forme
WY + .rv/x
(q) ^yi^ry^^
d'où, en intégrant,
fil± W^ = const.
Si l'on remet au lieu de X et de Y leurs valeurs, puis
