DES ORDRES SUPÉRIEURS

De l'équation ^-^^ = X, où X désigne une fonction

donnée de x.

693. Tous les cas des équations difTérentl elles ordinaires se ramènent, comme on Ta vu, quel que soit le nombre des variables, au cas d'une équation différentielle d'un certain ordre à deux variables. Après avoir exposé les résultats connus de la théorie des équations du premier ordre, nous devons considérer les équations des ordres supérieurs. Mais, si l'on excepte les équations linéaires, qui seront pour nous, plus loin, l'objet d'une élude spéciale, la théorie qui nous occupe ne possède aucun principe général, aucune méthode d'intégration, et les développements qui vont suivre sont nécessairement bornés à un très-petit nombre de cas particuliers.

Nous nous arrêterons d'abord un instant sur le cas le plus simple, celui où l'on donne une dérivée d'un certain ordre de la fonction inconnue ; il est évident que l'intégration à exécuter ne dépend que des quadratures.

Soit donc l'équation

et supposons qu'on veuille déterminer son intégrale

470 CALCUL IMTÉGaAL.

générale ; désignons par j^oty©? • • • ^ê*"* ^ ^^^ valeurs que doivent prendre, pour x = Xo, la fonction j^' et ses n — i premières dérivées. En multipliant Téquation (i) par^x et en intégrant ensuite, on a

Tu

^ ^J\d. +rr"= X, +,{-•';

intégrant de même cette équation après Ta voir multipliée par dx, on a

dn-'iy

Sï =/' x.rfx+rr"(— xo) +rr*'

dx

et Ton aura, en continuant de la même manière, formule où ]*on fait, pour abréger,

et où X|2 désigne le terme de rang ti + i dans la suite

ces fonctions, à partir de la deuxième, s'annulent pour j: =0:0 et chacune d'elles est la dérivée de la suivante. On a évidemment

I dx i dx. , , I Hdx^

formule où le nombre des intégrations à exécuter est égal à n.

L'intégration par parties permet de transformer la formule précédente et de ramener le calcul de Xj, à une