CHAPITRE Vlll

quadrature unique^ tel est Tobjet que nous nous proposons ici.

On a

(3) 'X,-: r Xdir,

et de même

t '^~= j Xi iix, •

L'intégration par parties change l'expression de X2 en la suivante

X,= j:Xi — / -—^xdxj c'est-à-dire

(4) X, = jr 1 X<£r — / 'jLxdx.

Pareillement, on a

ety en intégrant par parties,

' — -î j:<f-r = Xj JT — I XfOr^jr

c'est-à-dire, à cause des formules (3) et {4)f

(5) X,= — I Xi/x — X I Xxde-i- j X — dx,

La comparaison des formules (3), (4)> (5) fait près-

xdx

473 CALCUL IHTÉGRÀL.

sentir que l'on a généralement 1 X;,= ] : x«-» / X^x~ '^^^^ x«-« r X

et pour établir cette formule il suffit de prouver que si elle a lieu, pour une certaine valeur de n, elle subsiste aussi quand n augmente de i • Multiplions donc la formule (6) par dx et intégrons ensuite, à partir de x = jCq ; on aura dans le premier membre X^^^i : passons au second membre. Le terme

deviendra, en appliquant l'intégration par parties,

— ^. X"-' / yL,T'djc ' - / X^Vx,

et si l'on donne à i toutes les valeurs o, i, 2,... [n — i), on voit que, dans la formule qui nous occupe, l'intégrale

1 ILx'^dx se trouvera multipliée par

quantité qui est égale à -^ — > à cause de ( i — i )« = o.

On aura donc

=: — î — U^r X^-r— yx«-» r X^r/x+...-i-(-i)« r X*»W!r