Soit d*abord Téquation

qui ne renferme que la fonction inconnue y avec sa dérivée du deuxième ordre.

Supposons, en premier lien, qu^on puisse résoudre

48o CALCUL INTÉGHÀL.

Inéquation par rapport à-^? et qu'on en lire

On aura, en multipliant par 2dyf

Le premier membre est maintenant la difTérenticlle

-j- j ^ on a donc, en intégrant et en désignant par C

une constante arbitraire, par^o une valeur initiale quelconque dej^,

On tire de là

dx =1 — • — ,;

\/^ff{y)'ix^G

puis, comme les variables sont séparées ^

(3) xz= i—-^- ^-^- h a.

G étant une nouvelle constante arbitraire. L'équation (3) est rinlégrale générale de la proposée.

702. Supposons qu'on ne puisse pas résoudre la proposée per rapport à •— ^ 9 mais qu'on sacbe la résoudre par rapport à j. Posons

dy dp

CQÀPITRE VllI, 48l

et soit

(5) Jr==?(q)

la valeur dejr tirée de Féquation (i). La différentiatîon donne

d'ailleurs on a, par les équations (4), dj=:^'^ donc

P^P = qf'{q)dq,

équation où les variables sont séparées. L'intégration donne, en désignant par G une constante,

(6) />•=/ ^g?'{q]rïq^C,

d'où

2qf'(q)dq-^C;

l'équation da:=± = ?M^ devient alors

f'(f)dq

1iqif'{q](lq -f. G

d'où, en désignant par d une deuxième arbitraire,

17) *— 4 7===r=-f-Ci;

l'intégrale générale demandée est le résultat de l'élimination de q entre les équations (5) et (7).