CHAPITRE TITT
qui ne renferme pas la variable indépendante x et qui est homogène par rapport à
dx dy d}y
dx ilx^
car, si Ton pose
dx ''•
on aura
^r dp
tPy d*p
dx^ '^ dy dx^ '^ dy^
après la substitution de ces valeurs, on aura une équation d*ordre n — i , laquelle sera homogène par rapport
- dp d^p , , ,
a p, — j ^-j> • • > et qui, en conséquence, se ramènera
à l'ordre n — 2.
708. Des équations différentielles du deuxième ordre, homogenes par rapport aux variables et a leurs
DIFFÉRENTIELLES. Soit
une équation du deuxième ordre^ homogène par rapport à Xj y y dx, dj-y d^y. Si Ton pose
[1) yz^ux^ dy—pdx, d} y — ^ dx"^,
l'équation (i), après la substitution de ces valeurs, ne contiendra plus x, et elle sera de la forme
En effet, par hypothèse, Féquation (i) ne change pas quand on multiplie chacune des quantités x^y, dXf dy,
d^y par un facteur quelconque ; mais, après cette multiplication, les valeurs de zi, p, q sont restées les mêmes; donc Téquation (3) ne peut pas renfermer x. Les formules (a) donnent
dx=zudx-\- xdu-=ipdx^ d^y ■=zdpdx-=.^ dx^^
d'où
, , . dx du dp
Supposons maintenant que Ton tire de Féquation (3)
on aura, par la formule (4)»
équation différentielle du premier ordre entre les variables p et u. Lorsque cette équation aura été intégrée, la solution de la question proposée n'exigera plus qu'une quadrature, car, la valeur de p étant connue en fonction de u, on aura celle de x au moyen de la formule
dx du
dans laquelle les variables sont séparées.
Application des résultats qui précèdent à quelques
exemples.
709. Problème L — Trouver la courbe plane dans laquelle le rayon de courbure est proportionnel à une fonction donnée de l'abscisse.
Si Ton désigne par j? et / des coordonnées rectangu-
CHÀPiTUE yni. 489
lairesy l'équation du problème sera
Elle ne renferme pas^, et on l'abaissera au premier ordre en posant
elle devient alors
dp dx
Ici les variables sont séparées et l'intégration donne
p r fi.r
d'où
on aura j^ par une nouvelle quadrature, savoir :
Considérons, par exemple, le cas où la fonction donnée /(x) a pour valeur
a étapt une constante. On aura, en prenant Xo= o et
490 CALCUL l»TéGKAL.>
en écrivant -r au lieu de G, y»»
r^ rjjc
puis
— , ■' dx + Cj.
La courbe représentée par cette équation se rencontre dans la Mécanique et elle a reçu le nom de courbe élaS" tique; son rayon de courbure varie en raison inverse de l'abscisse.
710. Problème IL — Tr ouvrer la courbe plane dans laquelle le rayon de courbure est proportionnel au cube dé la normale.
Si Ton désigne par x el y des coordonnées rectangulairesy par/; la dérivée --? le rayon de courbure et la normale auront respectivement pour valeurs
dx
Féquation du problème proposé est donc
djn 7*'
a étant une ligne donnée. Cette équation* du deuxième ordre ne renferme pas x\ il faut donc prendre j^ pour
variable indépendante, et, en remplaçant dx par — 9 on a . dp a^ . , (^dy
