CHAPITRE y III
Les variables sont séparées, et Ton a^ par l'intégra tion, en désignant par - une constante arbitraire,
d'où
dy N/r* =^
et
intégrant et désignant par x^ une nouvelle constante arbitraire, on trouve
X — x^j ==r 0ï ^j^* zt: n^ OU
(j- — Jîo)*— -'«7' = — «'«*•
La courbe demandée est donc, en général, une ellipse ou une hyperbole. Dans le cas de - = o, on trouve une parabole.
711 . Problème III. — Trouver la courbe plane dans laquelle le rayon de courbure est proportionnel à la normale, «
Désignons par n un nombre donné positif ou négatif. L'équation du problème sera
dx
elle ne renferme pas x et nous remplacerons dx par — »
comme dans le problème précédent^ on aura ainsi
'iptlp 1 dy
49^ GALGDL INTÉGBA.L.
Les variables sont séparées, et Tîntégration donne, en désignant par c une constante arbitraire,
Iog(i +/>■)= ^ (logj^ — logc;=r log Ha d'où
=\/{fJ"-
et
tlx une seconde intégration donne enfin
-^" = cf fë)"~'l ''•''
Xo désignant une constante arbitraire et y^ une valeur initiale dej^ qu'on peut choisir à volonté.
L'expression de dx est celle d'une dîfTérentielle binôme, et les cas d'intégrabililé sont ceux dans lesquels
- où est un entier, c'est-à-dire ceux dans lesquels
71 est un entier. Les plus remarquables répondent à
1" Soit II = — I ; on a, en prenant jo = c.
Je \/c*—jr*
d'où
la courbe demandée est une circonférence, a® Soit n-= -+- 1 ; on a
