CHAPITRE VIII

d'où

elf en prenant les inverses de chaque membre,

X — Xj

On a, en ajoutant les deux équations précédentes,

/ x — x, x~xA

la courbe demandée est donc une chaînette [n? 224). 3® Soit 71 = — a; on a

eia: V

ce qui est Téquation difTérentielle d'une cycloïde dans laquelle le diamètre du cercle générateur est égal à c (n°231).

4® Soit II = 4- a ; on a

= i^C)/jr — e,

d'où

ce qui est l'équation d'une parabole.

712. Problème IV. — Trouver la sui*face de réyolution pour laquelle la courbure moyenne aux divers points est constante.

Dans une surface de révolution, les méridiens et les parallèles constituent les deux systèmes de lignes de courbure. Il s'ensuit que l'un des rayons de courbure

494 GA.LGVL IHTÉGftAL.

principaux est celui de la méridienne et que le rayon de la seconde courbure est la partie de la normale comprise entre Taxe et la surface. Si Ton désigne par R le premier de ces rayons, par N le second, Téquation du

problème sera

a étant une ligne donnée. Dans cette formule, R et N sont de même signe ou de signes contraires, selon que ces rayons ont la même direction ou des directions opposées. Rapportons Tun des méridiens à deux axes rectangulaires, dont l'un, celui de x, coïncide avec Taxe

de la surface ; R et N seront de même signe si y et -7-5

sont de signes contraires, et inversement ; il faut donc prendre

( dy^y

sf^

sions étant d'ailleurs arbitraire. Alors l'équation précédente deviendra

Cette équation ne renferme pas x, et on l'abaissera au premier ordre en posant

dy ^y dp

di'^^' d^i'^^dP'^