CHAPITRE TlII. 49S
elle devient ainsi
Pour l'intégrer, il suffit de multiplier par j^rfy, ce qui donne
pdp dx ydy^
le premier membre est la différentielle exacte de •- %
et l'on a, par conséquent.
± — étant la constante arbitraire introduite par Tinté- 20 *•
gration. On tire de là
et, à cause de p= -fy
dx z=
la question est donc ramenée aux quadratures.
713. Si la constante b est nulle, l'équation précédente se réduit à
en faisant abstraction de la solution particulière ^ = o. L'intégration donne
X — jr^ = — v^4^' — ^' = o» d'où (x — aro)«-f-j^« = 4<ïS
ce qui représente une circonférence ; il est évident a priori que la sphère est l'une des surfaces demandées.
49^ CALCUL IHTÉaRAL.
Si l'on pose b^ = ca, c étant une nouvelle constante, et que Ton fasse ensuite a = oo , Téquation différentielle que nous avons obtenue se réduira à la suivante :
etx=z .»
d'où Ton tire
= log
et
Xo étant la constante arbitraire. Cette équation est celle de la chaînette, qui est le lieu décrit par le foyer d^une parabole roulant sans glisser sur une droite fixe (n°224)y et la surface de révolution que cette courbe engendre en tournant autour de Taxe des abscisses a celle propriété que la courbure moyenne est nulle en chaque point, c'esl-à-dire que les rayons des courbures principales sont égaux et dirigés en sens contraire.
En partant de ce fait et en remarquant que, dans le cas général où les constantes a et b restent indéterminées, rintégrale de la différentielle dx ne renferme pas d'autres transcendantes que celles qui expriment les arcs d'ellipse ou d'hyperbole, Delaunay a pensé que la méridienne de la surface de révolution de courbure moyenne constante devait pouvoir être engendrée par le foyer d'une ellipse ou d'une hyperbole roulant sans glisser sur une droite fixe, Il a effectivement démontré cette élégante proposition dans un article qui fait partie du tome VI, i'* série, du Journal de Mathématiques pures et appliquées; on peut en vérifier l'exactitude comme il suit.
Soit
CBiPiTaB yiii.
Féquation d'une ellipse rapportée à ses axes ; désignons
par c la distance ^a^ — b^ du centre au foyer F, par / TarcÂM de l'ellipse, compris entre le sommet A et le
point M{a/,y). Menons au point M la tangente Ox^ prenons à partir de M une longueur MO =/ et élevons par le point O la droite Oy, perpendiculaire à Ox. Désignons enfin par j^ la perpendiculaire FP abaissée du foyer F sur la tangente Ox et par x la distance PO du pied de cette perpendiculaire au point O. On aura, par les formules connues,
— ex
ex
La première de ces équations et celle de l'ellipse déterminent od Qlj' en fonction de^^ on trouve
7' Caie. int.
6V4aV-(/>^*+.)-^i*'
49^ CALCUL IIÏTÉGUAL.
d'où Ton conclut facilement
ds' =
La diiTérence des premiers membres de ces formules n'est autre chose que dx\ on a donc
{b^A-r^]dr
Il est évident que cette équation différentielle est celle de la courbe décrite par le foyer F quand l'ellipse roule sans glisser sur la droite O x, et, si Ton veut substituer une hyperbole à l'ellipse, il suffira d'écrire — i^ au lieu de H-i^, dans la précédente équation. On voit que celle-ci coïncide avec l'équation du problème que nous nous étions proposé.
714. Problème V. — On demande de trouver V intégrale générale de l'équation du deuxième ordre
dx d.r^ X*
Cette équation est homogène par rapport ky, ~-> -~\ on doit donc poser (n" 706)
et, après la substitution, on a l'équation du premier ordre
dx ar
que Ton peut intégrer facilement, car on la rend homo-
chàpithe viii. 499
gène en posant
