CHAPITRE VIll. 5ll
Cela posé, chaque membre de la formule (2) est égala ds^ et Ton a, en conséquence,
(4) dx=zdscoscny djr^dscosSf dz = ds cosy. Posons
(5) arcos> -H jcosf* -1- 2COSV = U;
en différentiant deux fois cette équation (5) et ayant égard aux équations (4)> on aura (n^ 274)
(6) xcosÇ -:- X cosîj -:- z cosç ~ -^ - »
(7) xcosa -!-^cos6h- «cosy r=:
La comparaison des équations (i) et (7) donne
(8) -dr^^^-''Tr-
D'après la première équation ( 3 ), rfa est le produit par dt d'une fonction donnée de t, puisque cosa,cos S, cosy sont elles-mêmes des fonctions données de ce paramètre. Ensuite, d'après les formules du n°2f74, cos^, cosy?, cosf et cosX, cos(i, cosv sont elles-mêmes des fonctions connues de t ; enfin dv est, d'après la deuxième formule ( 3 ) , le produit d*une telle fonction par dt. Il résulte de là que l'équation (8) est une équation différentielle du deuxième ordre entre les variables U eit; l'intégration amènera donc deux constantes arbitraires. Quand la valeur de U sera connue, les coordonnées or, j-, z seront données en fonction du paramètre t par les équations (5), (6), (7); ces équations peuvent être représentées par
(9) V = o, dV:z^O, d^\~'
si l'on pose
(10) "V riixcosX -^ jcosfiH- «cosv — u.
5l2 CALCUL 12ÏTÉGRAL.
L'équation ( 8) appartient à la classe de celles dont la théorie fera l'objet du Chapitre suivant; mais on l'intègre très-facilement en faisant usage des formules du n° 210. Effectivement, soient X, Y deux nouvelles variables définies par les équations
XsinT — YcosTi=:U, Xcost H- Ysinriz: --— j
en
on aura
X = U sinr H- -r cosT, Y = — U cost -h — - sinr,
dr dr
puis
dX=l Uh--^ JcosTrfr, i^Y^^lU-î--^ y sinrc/T,
cl, à cause de Téquation (8),
</X z^ — u -y COST <^T, dY ■= — u — sinr dx.
Intégrant et désignant par A et B deux constantes arbitraires, on aura
X = A — I u -r- C08 rar, Y = B — 1 « — smraT, et, par suite,
/*' dv U = Arinr — BcoST — sinr / «— cosr<fr
