THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES UNÉAIRES

Des équations linéaires,

722. On nomme équations différentielles linéaires celles dans lesquelles les fonctions inconnues et leurs dérivées n'entrent qu'au premier degré et ne se multiplient pas entre elles.

La variable indépendante étant représentée par x et la fonction inconnue par j^, la forme générale des équations linéaires à deux variables est

3-4 + P -7-^ -f- . . . H- T -^ -4- U r zir V, dx"^ dr."^-^ dx

les coefficients P, . . . , T, U étant, ainsi que V, des fonctions données de x qui peuvent se réduire à des constantes.

Lorsque la quantité Y sera nulle, nous dirons, pour abréger le discours, que V équation linéaire n'a pas de second membre. On verra plus loin que l'intégration des équations linéaires pourvues d'un second 'membre se ramène à l'intégration de celles qu'on en déduit par la suppression du second membre.

II est évident (n° 645) que les équations linéaires n'ont pas de solutions particulières.

Propriétés des équations linéaires dépourvues

de second membre.

723. Première propriété. — L'ordre d'une équation linéaire sans second membre peut toujours être abaissé d'une unité.

S. — Cale. int. 33

5l4 CALCUL INTÉGBÀL.

Effectivement l'équation

dx^ dx"-^ dx

appartient à la classe des équations homogènes ; on abaissera donc son ordre d'une unité en posant (n^ 606)

zdx

d'où

dy .'*. d:^r (dz ^ ,\ J

mais on doit remarquer que la transformée obtenue n'est pas linéaire.

Par exemple^ dans le cas de n ~- a, la proposée est

d*'r ^dr ^

et notre transformation donne

dz • wv ^

-r- -i- a* -4- Pa -I- Q :=: O.

dx

724. "Deuxième propriété. — Si Inéquation linéaire sans second membre

d" Y ,, ef"-» Y ^dj ^^

est satisfaite quand on pose y =j^i, elle est également satisfaite par y = Cj^o G étant une constante arbitraire.

Effectivement, le résultat de la substitution de Cjr^ kj danb le premier membre de l'équation est égal au produit de la constante C par le résultat de la substitution de Xi*