CHAPITRE IX. 5l
725. Troisième propriété. — Si la même équation linéaire est satisfaite quand on pose y =y\ jj'^^y^^ • • • » j ^=:jiy elle est aussi satisfaite par j- ^=^j\ -h- y 2 4- • • • -+-J^i«
En effet, le résultat de la substitution de
à y dans le premier membre de Téquation est évidemment la somme des résultats que l'on obtient quand on substitue successivement j-ijj^a, . . .,j>7.
Il résulte de cette propriété et de la précédente que, si Ton connaît i solutions J^tf^i, . . ., j^/ de Téquation linéaire sans second membre, on pourra former une solution de la même équation contenant 1 constantes arbitraires, savoir
Et si le nombre I est égal à Tordre n de l'équation, on aura de cette manière l'intégrale générale de Téquation différentielle, pourvu cependant que les arbitraires soient telles qu'on puisse attribuer à la fonction ^ et à ses n — I premières dérivées des valeurs arbitraires répondant à une valeur Xq de x choisie à volonté. Cette dernière condition ne serait pas remplie s'il existait une relation linéaire enlTeyt, y^y • • •> J"»» car, dans ce cas, on a
a^, a2, . • ., a„^t étant des coefficients constants; cette valeur de jn étant substituée dans l'expression dej^, celle-ci se réduit à la forme
et, comme elle ne renferme pas n arbitraires, elle ne peut être l'intégrale générale.
726. Quatrième propriété. — Toutes les solutions d'une équation linéaire d* ordre n, sans second membre»
5i6 CALCUL intêghàl.
sont comprises dans l'expression
C|, Ca, . . . , C« étant des constantes arbitraires et y^y j^a, . . ByjTn des fonctions déterminées de la variable indépendante.
Cette proposition est évidente dans le cas àen^=^ij car Féquation difTérentielle est alors
dY dx
et
en
l'on en L posant
tire
Xu
Pdx
Il suffit, d'après cela, de démontrer que, si la propriété en question appartient aux équations d'ordre n — i , elle appartient aussi aux équations d'ordre /i. Supposons donc que l'équation
soit satisfaite par j^=j^o^« étant une fonction dex sans constante arbitraire, et faisons la substitution
X—Xi^f d'où
dr dz dji d*r d* z dr* dz d* y.
d.r dx dx dr* d.r^ dx dx dx* ^
ces valeurs ayant été substituées dans la proposée, il est évident que le coefficient de z sera
dx'' dx'^-^ dx ^"
