Posons, pour simplifier l'écriture

P, . . . , T, U étant des fonctions données de x, et considérons l'équation linéaire d'ordre n

dont le second membre V est également une fonction donnée de x. Je dis que, si l'on connaît l'intégrale générale de l'équation

dépourvue de second membre, on pourra en conclure l'intégrale de l'équation (2), par de simples quadratures.

5l8 CALCUL INTÉGRAL.

Suit

(4) r = c,ri + c,7, -<-... + c„^„

rintégrale générale de l'équation (3), C|, Ca, . . .? C« étant des constantes arbitraires. Si Ton regarde les arbitraires C|y Ca) . . . y C/7 comme des fonctions de orindéterminées, le second membre de la formule (4) pourra représenter une fonction quelconque , et, par conséquent, cette formule (4) est susceptible d'exprimer, en particulier, Tinlégrale générale de Téquation (a). On peut même, si l'on veut, attribuer à ^ — i des arbitraires C|, Cj, . . ., C/i telles valeurs que l'on voudra ou établir entre elles « — i relations quelconques, car, l'une de ces arbitraires demeurant une fonction indéter> minée, nous ne faisons autre chose que substituer kj une variable nouvelle.

DifTérentiant donc Téquation (4) dans l'hypothèse des arbitraires variables, nous aurons

dx (Ix OJT dx

dC. dCt dCn

et, puisque nous pouvons établir n — i relations entre les arbitraires, nous poserons d'abord la suivante :

dC^ dC^ dCn

^^d^-^^'-dJ^-^-'^^'^-d^r^o;

par conséquent, la valeur de -j- sera simplement

en sorte qu'elle a la même forme que dans l'hypothèse des arbitraires constantes. Formons pareillement les