CHAPITRE IX

dérivées suivantes de^, jusqu'à celle de l'ordre /i — 1, en opérant de la même manière, c'est-à-dire en établissant entre les arbitraires les relations nécessaires pour que les expressions des dérivées de^ soient les mêmes que dans l'hypothèse des arbitraires constantes. Il est évident que les relations dont il s'agit seront

^ ^ + "li:! ^ +. . .H- £-'1» £5- = o

( 5 ) { «^ rfx dx dx " ' dx ttx '

dx"-* dx dx"-* dx " dx"-* dx '

et l'on aura, en même temps,

r = Ctn -<- Cir« -i- . . . + Car»»

di-^^'d^^^ dx ^•••^^»;?7'

ir\ ] ^y r ^y^ -L.r ^^^ u. ^ r '^^^ (6) l5iï = C,-^+C.-^+...H-C»-^,

Il nous faut encore la valeur de -r-^ \ mais nous ne pouvons plus établir de relation nouvelle entre les arbitraires, et la dernière des équations (6) nous donnera, par la différentiation,

air""* rfx c^'*-* ctr

Substituons maintenant, dans l'équation (2), les valeurs

5ao

CALCUL iriTÉGIIAL.

de y et de ses n premières dérivées, tirées des équations (6) et (7); il viendra

dx^~^ dx

dx^"^ dx

Or les quantités ^{j\)i ^(j'a)» • • • > ^tX») sont nulles par hypothèse; donc on a

dar'

^-F»-» dx

Maintenant, si le déterminant

dx dx

àXn dx

rf«-l^^ ^1»-!^^

n^estpas nul, les équations (5) et (8) donneront, pour S -T-^j •••>— r^> des valeurs déterminées, fonctions

dx dx de X.

Pour obtenir ces valeurs, ajoutons les équations (5) et (8), après avoir multiplié les premières par les facteurs Xq, X|, . . • , ^/i.2» et posons généralement

(10) y(r)== V-+->'itr:+----^ Vi

dx''-* "^ ^^^» '

on aura

■(-) Hr.)§-^r(r.)gH-...-H,(r,)§=y.

Pour avoir la valeur de -r-9 il faut déterminer les fao-