CHAPITRE IX* SaZ
leurs X de manière que Ton ait
(12) ff{x^)'^o, y(rî)--o, ..., y{j„) = o, excepte f{jrt)=zo,
et l'équation (11) donnera
(fi (y) étant la valeur que prend cp(j ) lorsque les coefficients X satisfont aux équations (12). Désignons par c/ une constante arbitraire; on aura, par l'intégration.
par conséquent, si Ton pose
" Vdx
rintégrale générale de l'équation (a) sera
Ci, Cs, ». .y Cn étant des constantes arbitraires. On voit qu'elle s'obtient en ajoutant la fonction X à l'intégrale générale de l'équation (3).
II faut remarquer que le déterminant (9) ne peut jamais être nul. En eifet, par hypothèse, l'équation (4) représente l'intégrale générale de l'équation (3), lorsqu'on regarde Ci, C2, . . . , C,, comme des constantes arbitraires; donc les n équations (6) doivent fournir pour C|, C29 • . . , C/i des valeurs déterminées fonctions fly d^~^y
de X, jTf -j-j • • •> -j-^zi » c^ 4"' n'aurait pas lieu, si le déterminant en question était nul.
728. Méthode de Caucht. — La méthode dont nous venons de faire usage, fondée sur la variation desai'ii"
5aa CALCUL intégiial.
traires, a une importance considérable dans l'Analyse, et elle nous a fourni une solution très-élégante du problème que nous nous étions proposé ; il ne sera pas inutile cependant de faire connaître ici une autre solution que Cauchy a donnée de la même question. Il s'agit d'intégrer l'équation
dont nous représentons le second membre par ^{x)y en supposant connue l'intégrale générale j^ = Y de l'équation
Les n arbitraires qui figurent dans la fonction Y peuvent être déterminées de manière que l'on ait, pour x = a,
/ON ^ ^ ^"""Y rf"-»Y „ ,
et je dis qu'on satisfera à l'équation (i) en posant
HdoL.
Eh effet, on a, en différentiant celte formule (4) et en représentant par (Y) la valeur de Y pour a rr=x,
dx __ r"^
dx ) dx
ou simplement
car, les formules (3) ayant lieu quand on remplace a: par a, et par suite quand on remplace a par x, la quantité (Y) est identiquement nulle.
CHÀPITBE IX. 5a3
Pareillement, les dérivées -— - ? • . . , --— -r- s'annulaDt pour a = X, on a, par des difTérentiations successives,
enfin, une diiTérentiation nouvelle donne
étant la valeur que prend - ^^^ pour a = a:. Il est évident que cette valeur est F(a7), puisque, par
hypothèse, ^^ se réduit à F (a) pour x = a ; ainsi Ton a
Substituons maintenant, dans l'équation (i), les valeurs
dy d^ Y
dejj-j-y ••*''TT» ^^rées des formules (4), (5), (6)
et (7) ; on aura pour résultat
ce qui est bien une identité ; car le coefiicient deda sou9 le signe / est nul par hypothèse.
Nous connaissons donc, par cette méthode, une solu-
tion de l'équation (i); désignons-la par X et posons
Si Ton eflace les termes qui se détruisent, le résultat de la substitution dans l'équation (i) sera
ce qui n'est autre chose que Téquation (2), où la lettre y est remplacée par z. Il s'ensuit que, pour avoir l'intégrale générale de l'équation (i), il suffit de prendre celle de l'équation (2) et d'y ajouter ensuite X.
Réduction d'une équation linéaire à une autre d'ordre inférieur, dans le cas où l'on connaît une ou plusieurs intégrales particulières de l' équation priyée de second membre.
