Pour que l'intégrale de la différentielle ration

Flx) nelle -^7 — r dx soit algébrique, il faut et il suffit que, dans

CHAPITUE I. 19

le développement de -jr — - en fractions simples, il n'y ait

aucun tenne dont le dénominateur soit du premier degré. Ces conditions pour qu'il en soit ainsi sont, en coiiservant les notations du numéro précédent ^

4«~i = o, B«i = o, Cy i = o , ....

Cela exige d'abord que le polynôme /"(x) ne contienne aucun facteur linéaire simple. Nous avons vu, aun°398y qu'en posant

on a

/F(.r) ^ ' : dx soit algébrique sont

donc

quelles que soient les quantités a^h^ . • . , c, réelles ou imaginaires.

Ces conditions sont en même nombre que les racines a, bj , . ., l'j mais, si le degré de F(j:) est inférieur de deux unités au moins à celui dey*(x), l'une d'elles sera comprise dans les autres. Désignons, en effet, par m le degré def{x)y et supposons que F(x) soit au plus du

degré m — a ; la partie entière E (x ) de -r— r sera nulle ,

et si l'on réduit au même dénominateur toutes les fractions simples, pour les ajouter et recomposer la fraction

■ ) (, on voit sans peine que le numérateur de la frac-

aO CALCUL INTÉGRAL.

lion ainsi obtenue contiendra x'""* avec le coefficient

Ce coefficient doit être nul, puisque F (x) est du degré m — a au plus ; on a donc