Ce que nous avons dit au n^ 418 est applicable à
une différentielle rationnelle quelconque -j^. — \dx. Si,
parmi les racines de Téq nation /*(x) = o, il y en a qui soient imaginaires, l'intégrale renfermera des logarithmes imaginaires, mais on pourra les remplacer par des arcs de cercle réels en se servantdes formules que nous avons établies au n** 371, et Ton obtiendra ainsi un résultat débarrassé d'imaginaires, pourvu cependant que les coefficients des polynômes F ( x) ety(j:) soient réels. Mais, en
supposant ce dernier cas, la fonction rationnelle ~ — {■ est
susceptible, comme on l'a vu (n**401), d'un mode de décomposition où ne figurent que des quantités réelles, et il est facile de procéder à l'intégration en partant de celle décomposition nouvelle.
Ici l'expression de -j—'^ pourra contenir des termes de
chapithe !• ar
même forme qu'au n« 418 avec de nouveaux termes de la forme 7-^ -'^ — r- > P et O désigiiant des coefficients
réels constants, etx^ 4- px -f- q étant le produit des facteurs linéaires qui répondent à deux racines imaginaires conjuguées de réquationy(x) = 0. A l'égard des premiers termes, nous n'avons rien à ajouter à ce que nous avons dit plus haut, et nous avons à nous occuper seulement des intégrales de la forme
Par la substitution
l'intégrale précédente devient égale à
Q-lpj,
P r tdt ^ 2 ^ /* dt
or, tdt étant la moitié de la différentielle de «* -i- i , on a, si n est > 1 ,
tdi
et, si 71 = I,
-, = - loL' (/' H- i) -*- const.:
tout est donc ramené à déterminer l'intégrale
2Q CALCUL IKTÉGUAL,
En întroduîsanl au numérateur de la différentielle le facteur {t^-hi) — t^, il vient
J -{i^^r J [FTTpï J (/^ + iv*'
on a ensuite
(7rï.T)^~5j^(r«-H-ip
et
'>fdt r i 1
l'intégration par parties donnera donc
r^fh t ^ I r dt
j (7«-f"i)«"^""2(« — I)t^-^-I)'*-*"'"2^/^-IJ J (/«H-i)'*-*'
au moyen de quoi l'on aura
/dt ^1 e 2/1 — 3 r ^^ .
On aura de même, en écrivant n — i,/î — 2, •.., 2 au lieu de n,
dt __ __j t 2/?— 5 r dt
Si Ton ajoute les /i — i équations précédentes, après les avoir multipliées respectivement par les facteurs
9/1 — 3 [in — 3 ) ( 2 w — 5 ) ^ 2/î — 2 (2/i — 2) (2/2 — 4)
CHAPITHE !• 2ÎJ
îl viendra
(2« — 2j(2« — 4) (^-hl)""'
in — 3). . - I t "I tn — 2). . .2 <*-!- ij
arc tangr -4- const.
à cause de
= lang/ 4- const.
Si donc on ne veut introduire que des quantités réelles dans l'intégrale d'une différentielle rationnelle, on devra dire que cette int^rale est exprimable par des fonctions algébriques, logarithmiques et circulaires.
Des différentielles algébriques qui ne renferment pas d'autres irrationnelles que des puissances /raction'naires de la variable,
4SI . Nous allons examiner les cas principaux dans lesquels une différentielle algébrique irrationnelle/ (x) dx peut être ramenée à la forme rationnelle par un changement de variable.
La réduction dont il s'agit s'obtient immédiatement
quand la fonction y* (a:) est une fonction rationnelle de
puissances entières et de puissances fractionnaires de x ;
dans ce cas, si l'on désigne par m un entier divisible par
les dénominateurs des exposants de x dans/ (or), il suffira
de poser
xz=t^, dx =z mt"^-^ dt.
a4 CALCUL INTÉGRAL.
et Ton aura
f[x)dx =z m/(/"») e'^-^di,
ce qui est bien une diffère ntielle rationnelle.
Une transformation semblable opère la réduction demandée quand/'( x) est une fonction rationnelle de x et de puissances fractionnaires d'un binôme du premier degré ax -h b. Si m désigne un entier divisible par les dénominateurs des exposants de ces puissances, on posera
et, après la substitution, on aura
f ^X)dXZ=Z^i)dty
^[t) désignant une fonction rationnelle.
