Considérons Téquation linéaire du deuxième ordre

532 CALCUL fNTÉGKAL.

OÙ P, Q, V sont des fonctions données de x. D'après la théorie exposée précédemment (n** 729), si Ton connaît une solution y^ de l'équation obtenue en remplaçant V par zéro, l'intégration de la proposée ne dépendra que de celle d'une équation linéaire du premier ordre, et, comme une telle équation peut toujours être intégrée, on pourra aussi déterminer l'intégrale générale de l'équation (i). On obtient très-aisément cette intégrale en opérant comme il suit. On a, par hypothèse,

En retranchant les équations ^i) et (2) l'une de l'autre après avoir multiplié la première par j^ et la seconde par j-, il vient

or, si l'on fait

on aura

•^* djc^ " dx^ ~ dx'*

donc

L'intégrale générale de cette équation est (5) z = c •''• \C,+ / e''« Vyifix);

GHÀPITRB JX. 533

l'équation (3) donne ensuite

d'où, en intégrant,

(G) J = C/, 4-7, \ ^àx.

Cette expression (6) de ^ renferme deux constantes arbitraires C, Cf.

734. Il convient d'indiquer ici, d'après Sturm, une propriété des intégrales de l'équation sans second membre

d.i. (Le

Soient^! etj^a deux intégrales particulières avec lesquelles on peut composer, comme on sait, l'intégrale générale. On aura,' par ce qui précède,

- Cv,

d'où il suit que la fonction'^/i —-*- — jt "— a toujours

le même signe, et, par conséquent, j>^i et -~ ou j j et — ^ ne peuvent s'annuler pour la même valeur x. Supposons

si la fonction y^ s'annule pour x == a et pour x = i, ou aura, pour l'une et l'autre de ces valeurs de x.

et, par conséquent, j^'2 et -:- seront de signes contraires.

dr Soit b'^a\ quand x croît de a à h, -y^ change de signe

pour une cerlaine valeur a de x; donc j^ doit aussi changer de signe avant que x devienne égal à b. Par conséquent, si la fonction j^ reste finie, elle s'évanouira pour une valeur de x comprise entre a et b. On voit de la même manière que j^ s^annule nécessairement, si elle reste continue, pour une valeur de x comprise entre deux valeurs qui annulentj^'a.

Il résulte de là que, x croissant, les deux fonctions j^i et ^2 s'annulent alternativement tant qu'elles restent continues.

Des équations linéaires sans second membre, à coefficients constants.