CHAPITRE IX
Quant à la dérivée d'ordre i du second membre de la formule (3), on Tobuendra par la règle du n° 66, qui sert à difTérentier les produits^ on aura ainsi, en désignant pary (r),y'(r), ... les dérivées successives du polynôme/i^r),
Cela posé, considérons Téquation linéaire d'ordre n sans second membre
ainsi que l'équation algébrique correspondante (6) Ar)=o,
laquelle sera dite Y équation caractéristique.
Si l'équation caractéristique admet une racine ri indépendante de X, on voit, par la formule (3), que l'équation (5) admettra l'intégrale particulière e^i^. En outre, si cette racine r^ est multiple et que /ui désigne son degré de multiplicité, elle appartiendra aux équations
et, par conséquent, pour les valeurs i, 2, ..., (/x — i) de i, la formule (4) donnera
d'où il suit que l'équation (i) admettra les fi solutions
Lorsque les coefficients P, ..., T, U de l'équation (5) sont constants, l'équation caractéristique a ses n racines
536 CALCUL UfTÉGUAL.
indépendantes de x, et, en conséquence, on a ce théoirème :
Théorème. — Si les coefficients de V équation linéaire d'ordre n sans second membre ^(jr)=o sont constants, chaque racine de l'équation caractéristique donne autant d'intégrales particulières qu'il jr a d'unités dans son degré de multiplicité, et par conséquent le nombre total de ces intégrales particulières est égal à l'ordre de l'équation différentielle.
Ce théorème permet de former l'intégrale générale de Téquation diflerentielle. Si les racines de l'équation caractéristique sont inégales, et qu'on les désigne par ri, 7*27 . .., rn, l'intégrale générale de l'équation (5) sera
C|| C29 . . -9 Cn étant des constantes arbitraires. Dans le cas général, soient Ti, r2y . . ., Ti les racines distinctes de l'équation caractéristique, jXi, 1x29 •••rf^i leurs degrés de multiplicité respectifs ; l'intégrale générale de l'équation (5) sera
P<, P2, . . ., P| étant des polynômes en a:, à coefficients arbitraires et des degrés respectifs ui — i , fi^ — i , . . ., (il— I.
736. Pour que la solution formée comme nous venons de le dire soit effectivement l'intégrale générale de l'équation proposée, il est nécessaire qu'on puisse attribuer aux const€|ntes des valeurs telles que
dx dj:^ dlr«-4
