CHAPITRE IX
prennent, pour x=zxoy les valeurs arbitraires
JO* J 0^ J 09 • • •> Jo
Nous allons montrer que cette condition est remplie, en nous bornant toutefois au cas où l'équation caractéristique n'a pas de racines égales.
Si l'on fait généralement
la valeur dejr que nous avons obtenue prendra la forme
et l'on en déduit, parla différentiation, dr
ai:"""*
Pour a:= X09 on aura
.To = <?i + ^1 -*-•••-*- ^
J 0 M '^ 1 ^^ *^J '^l ^^ • • • ^ «^» ' rt 9
et il s'agit de démontrer qu'on peut tirer de ces équations des valeurs finies et déterminées pour Ci^c^, • • •> C/ii en supposant distinctes les racines r^ Ta, • . ., r„. A cet effet, ajoutons les équations précédentes après les avoir multipliées respectivement par les facteurs
538 GALGITL INTlÊailÂL.
on aura
A==ri9>(ri)-|-c,y;r,)-l-...-+-c„y;r„),
en posant, pour abréger,
Supposons qu'on veuille déterminer c/; on disposera des facteurs indéterminés X de manière que l'on ait
?>i) = o> yr, =o, .... yr^ =o, excepté y;rJ=o,
et Téquation précédente donnera
Les conditions par lesquelles nous déterminons les facteurs X expriment que Téquation
a pour racines r,, r^, . • . , r,,, excepté r/. Mais l'équation caractéristiquey(r j= G a ces mêmes racines, r/ comprise. On a donc
r— ri
en effectuant la division dans le second membre et égalant ensuite de part et d'autre les coefficients des mêmes puissances de /*, on aura
Xq = T -^ . . . -4- Pr?-* H- r?-S
équations qui déterminent les facteurs X«
CHAPITHB IX. 539
L'expression de ç(r) devient, pour r = r/, d'où
ce qui est une valeur déterminée, carréquatîony(r) = o n'ayant pas de racines multiples, le diviseury^(r/) ne peut être nul. Ainsi notre solution de l'équation différentielle proposée satisfait bien à la condition que doit remplir l'intégrale générale.
737. Méthode DE d'âlembert. — Nous avons démontré plus haut que chaque racine de l'équation caractéristique fournit autant d'intégrales particulières de l'équation linéaire correspondante qu'il y a d'unités dans son degré de multiplicité. Mais, sans recourir à ce théorème, on peut passer facilement du cas des racines inégales à celui des racines multiples, en faisant usage d'une méthode due à d'Alembert et qui offre de précieuses ressources dans diverses questions d'Analyse. Voici en quoi consiste cette méthode. Soient, comme ^ l'ordinaire,
l'équation linéaire proposée et
l'équation caractéristique. Supposons que cette dernière équation n'ait qu'une seule racine multiple r^ et que le degré de multiplicité de cette racine soit a. Représentons par
l'équation linéaire qui répond à l'équation caractéristique
^ ' r — rj
h étant une quantité aussi petite que l'on voudra.
54o CALCUL IBfTÉGBAL.
L'équation (4) n'ayant pas de racines multiples, l'intégrale générale de l'équation (3) sera
Mais on a
e(r^-hk)x—^^x(^
ha: h^a:^
et si Ton fait
C, + Cs =
Di
, CjArsD,,
la valeur de^ sera
7 — e^' ( Di -h Dj JT -4- D, /r -
-f-.-.WCaeV
D< et D2 sont deux constantes arbitraires qu'il est permis de substituer à Ci et C2. Maintenant, si l'on fait décroître h indéfiniment, l'équation (3 ) coïncidera, à la limite, avec l'équation (i), et en même temps la précédente valeur de^ deviendra
ce qui s'accorde avec le théorème du n*^ 735.
Supposons maintenant que l'équation caractéristique de l'équation linéaire <I>(y )= o ait trois racines égales à r^; l'équation (4) aura deux racines égales à r^ et une racine r^, égale k r^-^-h^ alors l'intégrale générale de l'équation (3) sera
Développant e^ en série et posant
il viendra
