CHAPITRE IX

et, si l'on fait tendre h vers zéro, on aura à la limite

^=r ( E, -h Ej jr -h E3 x» ; e'-x^-Jf ... -H C„c''-«^,

ce qui est l'intégrale générale de la proposée dans le cas d'une racine triple r<

En continuant ainsi, on verra que, si fXi désigne le degré de multiplicité de la racine r< , l'intégrale générale prendra la forme

P< étant un polynôme arbitraire en a:, du degré fx^ — i ; et, en opérant de la même manière sur les autres racines multiples que peut avoir réquatîony(r)=r o, on reproduira d'une manière complète le résultat auquel nous sommes parvenu au n° 73o.

738. Dans ce qui précède, nous n'avons fait aucune hypothèse sur la nature des racines de l'équation caractéristique. Lorsque les coefficients sont réels, deux racines imaginaires conjuguées introduisent dans l'intégrale générale des termes compliqués d'imaginaires, et il est souvent utile de les ramener à la forme réelle.

Soient /'i = a -4- (3 v^ — i, r2 = a — 13 y — i deux racines imaginaires conjuguées de l'équation caractéristique. Si ces racines sont simples, elles introduiront dans l'intégrale générale les termes

Cie"vc«s6jr-l-^— isinex)-hC,tf"(cos6x — y^^^sin6j:\

qu'on peut remplacer par

( A cos 6 X -h B sin 6 x ) ff»*^ en posant

A = C, -+- Ca, B = (C, ~ C,) v^^.

On peut aussi poser

A:=:^GcOS^, B=:r— Gsin/^,

et les deux termes que nous considérons seront remplacés par

G et g étant deux constantes arbitraires.

On voit immédiatement que, si les racines conjuguées /*,, /'a ont le degré de multiplicité /i, elles introduiront dans rintégrale générale les termes

<?«*'[Gc()S,'e.r-i-^) -h G,-ccos[6j:-I-^j) H-...

-f- G^,.n*-*cos(6x H- ^^, )],

où G, G|, . . . , G^p g', g^i, . . . , g^^-i désignent a^x constantes arbitraires.

Considérons, par exemple, l'équation

dont nous nous sommes déjà occupé au n** 703; l'équation caractéristique est ici /•* 4-/1* 1=0, et l'on en tire r=±n y — i ; l'intégrale générale sera donc

ou, si Ton veut,

jr =z Gv()s[na: -h g).

739. Le théorème du n** 73o est quelquefois applicable à des équations linéaires dans lesquelles les coefficients ne sont pas tous constants. Nous croyons devoir en présenter un exemple.

Soit Téquation du quatrième ordre

Téquation caraclérislique est ici

CRAPITILE IX. 543

elle a troîs racines égales à i, et, par conséquent, on satisfera à la proposée en posant

Connaissant troîs intégrales particulières, on peut ramener l'équation différentielle au premier ordre, et par conséquent Tintégrer complètement (n° 732). Mais on arrive plus aisément au résultat demandé en employant simplement la solution

Regardant G comme variable, on trouve cette transformée en G :

Posant

dx^ -"*

il vient

du ^« . X ,

— --+-(1 — xtf=:o ou — = ' X — i>r7.r, dx ^ ' u

doù

on a donc

:= ce

et, en intégrant par la méthode du n® 693,

[,T — z]-e^ rfz-h Co-h rjj: -I-c,j:*;

riutégrale de Téquation proposée est ainsi

' [x — z^e^ dzy

Co, Ci y C2, C étant quatre constantes arbitraires.

544 CALCUL INTÉGKAL.

Des équations linéaires poun^ues (tun second membre

et à coefficients constants,