Exemples. — i** Soit proposé d'intégrer l'équation

£n considérant d'abord l'équation

S. — Cale. int. 35

546 CALCUL ihtégual.

on a l'équation caractéristiquey(r) = r* — ti* = o, d'où r .= — «; l'intégrale générale est donc

r:^Ci<r"'-hC,e-"*.

Revenons à la proposée ; à cause dej^{r) = ar et de

ou a

V^H- JP*

ou, en mettant a au lieu de :r sous chaque signe f 9

kX p n(x — «) « (jr — - tt)'

- da;

l'intégrale demandée sera

a' Considérons encore l'équation

L'équation privée du second membre répond à l'équation caractéristique (r — /i)^ = o, et il en résulte les deux intégrales particulières^! = e"^, y^-.=.x^^\ puis^ en conservant les notations du n® 740, on a

Posant donc

r V«ér-»*rfjC"rxe** r Vtf-**dir,

CHAPITRB IX, 547

on aura, pour Tintégrale générale de la proposée,

j=(Ci4-C,x)e«'-hX, C| et C3 étant deux constantes arbitraires.

742. Au lieu d'appliquer les formules générales, on peut procéder, dans chaque cas particulier, à une recherche directe, en suivant la méthode par laquelle nous avons établi ces formules. Mais nous devons indiquer deux cas dans lesquels on parvient immédiatement à découvrir l'intégrale particulière nécessaire pour Tévanouisseraent du second membre de Téquation différentielle.

I® Si le second membre V est une fonction entière

V = AoJ:*' -h AiX*'-* -H . . ■ + A/, jr -f- A/, on posera

jr z=: a^a^ -f- a, j/-* -f- . . . H- «/.jo: -f- «/,

et, en substituant dans Téquation proposée, on aura i + i équations qui serviront à déterminer les coefficients ao, a,, ..., a/.

2" Si le second membre V a la forme

V = AcoSfAa?-+-Bsinfxx ou V=^ A4?«^v^^-4- Be-»^v^, on posera j = û cosfx:r -f- h sinjAjr ou y'=.aéf^>l—^ 4- he"^ >^,

et Ton aura deux équations d'où Ton tirera les valeurs de a et de b. Mais il faut remarquer que ces équations peuvent donner pour aetb des valeurs infinies, et, dans ce cas, il est nécessaire de modifier la forme de la valeur de y. L'équation proposée étant <b (y) = V, on a, quel que soit p,

548 CALCUL INTÉGBAL.

d'où, en différenlîant par rapport k ±: fj. \J — i,

D'après ces formules, si f\±L^ yj — i) n'est pas nulle,

on pourra poser ^= œ»^^""* -h ie"'*^v^-*, ou, ce qui revient au même,

y^=za cos |x.r + h sm/A.r.

Si /( dz /:ji y/ — 1 ) est nulle, mais que^^ ( rt /x y^ — i ) ne le soit pas, on pourra poser

y = .r {acositx -+■ b sinfx.r),

et ainsi de suite.

Considérons, par exemple, l'équation

on a ici