CHAPITRE IX

on a donc Tintégrale particulière j^ = ^9 et l'inté-

grale générale .est

xÛXiX

^ = Cj sin* -r- Cicosa: -!-

Sur un cas des équations lin'Jaires réductible à celui

des coejjficients constants,

743. Les équations linéaires dont il s^agit ici ont la forme suivante,

où Âi , A3 , . . . , A;2 y ^ 6t & sont des constantes, le second membre V étant une fonction quelconque de x.

L^équation précédente peut être transformée en une autre dans laquelle les coefficients sont constants; il suffit pour cela de poser

ax -h A = e'

et de prendre t pour variable indépendante au lieu àex» On aura efiectivement

dX

dx

ax -h b

,it'

^fy)

dr*

{ax-\-

,di'

dt}

En substituant ces valeurs et en multipliant ensuite par {ax -+- b)"j on obtiendra une transformée linéaire dans laquelle les coefficients seront constants.

Mais il n'est pas nécessaire d'effectuer la transformation dont nous venons de parler pour obtenir l'intégrale de l'équation proposée. Si l'on représente, pour abréger,

SSo CALCUL TNTÉGUAL.

par

cette équation, il sufïira de connaître l'intégrale générale de Téquation

et Ton y parvient aisément de la manière suivante. Remplaçons^ par (ax-hby ou par e'"*°8(Ar+*) dans ^{y)] nous aurons un résultat de la forme

(3) *[(a.r •+- by] = {ax H- by-^/lr),

y(r) étant un polynôme entier de degré «. Ensuite, si Ton différentie / fois la formule (3) par rapport àT, on aura

♦ [(/7J7 -h ^)''log'(£ij:-+- b)] =:z[ajr -h by-"

X [/'(r) 4-ilog(/ïx + b]/i--i){r)^...^ \og'{ax -f- 5)/(r)l ,

et il résulte des formules (3) et (4) qu'à une racine r^ de l'équation caractéristique

ayant un degré de multiplicité égal à fi, répondent |u intégrales particulières de l'équation (2), savoir :

[ax -h byi,

[ax -h byi \og{ax -f- b)^

(ax-h bytlogf'-^[ax -h b),

n est bien entendu que, si r^ est imaginaire, (ax -h i)^ représente l'expression e^lo«(«*+*).

On connaîtra donc de cette manière n intégrales particulières de l'équation (2), et l'on en déduira, comme on l'a vu précédemment, l'intégrale générale de l'équation (i).