CHAPITRE IX. 55r
74-4. Exemple. — Proposons-nous d'intcgrer Téqualion du deuxième ordre
x« ^ - (2/1 - i)a: — -+. /îV = o,
qui rentre dans la classe de celles dont nous venons de nous occuper. En posant j^ =x'" et supprimant le facteur x''j on formera l'équation caractéristique
r[r — i) — (î/i — i)r-t-«*=:o OU
Les deux racines sont égales an; on a donc les deux intégrales particulières
j-", jT^Iogj:,
et, par conséquent, l'intégrale générale de la proposée est
j = ^«(C-h(rJogx),
G et G désignant des constantes arbitraires.
Des systèmes d' équations linéaires simultanées,
745. L'intégration d'un système quelconque d'équations différentielles simultanées peut être ramenée, par l'élimination (n^ 6!27), à l'intégration d'une où de plusieurs équations différentielles qui ne renferipent chacune que deux variables. Il est évident que ces dernières équations seront linéaires si les équations du système proposé sont elles-mêmes linéaires ; nous présenterons deux exemples de cette méthode.
Soient, en premier lieu, les deux équations simultanées
dr o dz
On tire de la seconde
dz
55a CALCUL INTÉGRAL*
d'oùy par la difTérentiatioDy
dr r!*z dz dx d.r} dx
substituant ces valeurs dans la première équation, il vient
d}z , dz ,
Cette équation est linéaire, à coefHcients constants, et Téquation caractéristique qui lui correspond est
son intégrale générale est donc, en désignant par C|, Cs deux constantes,
z = [Ci-f-C,a:)c-«*,
et Ton a ensuite
746. Proposons-nous, en second lieu, d'intégrer les deux équations simultanées
dy dx 2 9/ -f- 2X =r G,
dt dt ^'^ *
^dx ^ r* dt
dy d^x
dt dt^ ai ' / à/ 1 >f. f ♦
dr Résolvons ces équations par rapport à j^ et à-j-; on aura
les deux suivantes :
d^x dx , /•' dt 1 1 r =3 2 — - — II -T- -+- 1 4-2? -t- 2 /
— \ II -r-+- H-^-t- 2 I 1
dy d}x
,,dx ^ r* àt
En dilTérentiant la première de ces équations et en retran-
GHAPITRB IX. 553
chant ensuite du résultat la deuxième équation, il viendra
t^x tPx
— lo —rr •+■
dû dt*
dx ^ Q r di I
Le premier membre f{r) de l'équation caractéristique
est ici
f[r) =7^ — ior*H- 29r— 26,
d'où
•/'(r)=3/*— 20r-f- 29; d'ailleurs on a, quelle que soit la fonction V,
et Ton reconnaît aisément qu'on obtiendra une intégrale particulière de l'équation en x en faisant la somme des valeurs que prend l'expression
9 — 2r r^ e-'^'dt 9 /"' dt
quand on substitue à r les trois racines 2, 4 +^^7 4 — v^3 de l'équation caractéristique. On aura ensuite l'intégrale générale en ajoutant la somme
où Cl, C2, Cs désignent des constantes arbitraires. La valeur de x étant connue, on aura celle de j^ par l'une des équations écrites plus haut.
747. Toutes les équations difTérentielles qui n'ont pas la forme linéaire peuvent y être ramenées par l'introduction de variables nouvelles. Nous allons en donner un exemple. Considérons les trois équations différentielles contenues dans la formule
tix dx fil du
554 CAIXCL BntCKÂL.
r i V<m Introduit une variable nouvelle t dont la difOrérenlielle soit é^ale à chacun des rapports de la formule précédente, on aura les quatre équations diflerentielles
dx tir dz du
H^^' di~^' di^''' di
d*où Ton tire, en prenant dt pour la difTérentielle constante,
djr d}x d^JT
pui
L*équation caractéristique qui répond à Téquation (4)
est
et Ton en tire
Les racines d=^ — i introduiront dans l'intégrale générale de Téquation (4) I^ partie Ccos(c — fo)» C et t^ étant deux arbitraires ; quant à la partie introduite par les racines dz I, on peut la représenter par Ae'"^» -f- Be"^'"^»^ A et B étant de nouvelles arbitraires. Mais la variable t n'est définie que par sa difTérentielle, et l'on peut écrire t au lieu de t — to; on aura donc, en remarquant que jf Z| u sont déterminés par les équations (3),
jr = A^-+-B«-'H- Ccosr,
^ r= A^— B<r-' — Csin/,
z = A^4- B^— Ccos/,
u = Atf*— Bc^H- Csin/.
Si l'on pose
4C* = «, i6AB = p, log4A = 7,
