Exemple. — Considérons la différentielle

en posant

xr=<«, dx = 6t*dty

elle devient •

^^•-f-/* , ^ , , - , ; 6tde 6dt

on a ensuite, en intégrant,

^dx = - t' — - ^*4- -/*-f-2r'— 3/*— 6r

3 log ( r* -H I ) + 6 arc tang t -+■ const.,

ou, en remettant au lied de t sa valeur x^^

l l±dx:=-x'-^^x'-\--a'' H-9.r'-3^^-6x«

-H 3 log \x^ -+- 1 j -^ 6 arc tang.r*^ -h coost.

CnAPITHE I. aD

Des différentielles algébriques qui ne renferment pas d* autres irrationnelles que la racine carrée d'un polynôme du deuxième degré,

4-23. Le cas que nous avons ici en vue est celui d'une différentielle de la forme

X désignant la racine carrée d'un trinôme du deuxième degré en x, et F(j:, X) étant une fonction rationnelle de X et de X Soit

si le coefficient c est nul, pour rendre rationnelle la différentielle proposée, il suffira de poser (n®421)

a H- bx zz^ ^', dx z=zj tdt.

Supposons donc c différent de zéro ; comme on peut faire sortir du radical un facteur numérique égal à la racine carrée de la valeur absolue de c, il est évident que nous pouvons poser

H convient d'examiner séparément le cas où x'^ est précédé du signe -h sous le radical et le cas où ce carré est précédé du signe — .

Soit d*abord

Première transformation. — Pour rendre rationnelle la différentielle donnée, onpeut poserX = ii-:x, t étant une nouvelle variable; nous ferons, par exemple,

^6 CALCUL IIITécllAL.

en élevant au carré, il vient

a -\- b.T = t^ — 2fj:, d'où

^ = ~- —. X — - - - -— ., d:r z= -~^ — - dt\

et la substitution de ces valeurs donnera

4>(f ) désignant une fonction rationnelle de t.

Deuxième transformation. — On peut encore employer la transformation

mais, si a et & sont des quantités réelles et qu'on veuille éviter Femploi des imaginaires, cette transformation ne convient qu'au cas où a est positif. En élevant au carré la précédente équation, il vient

b -^ jn =2 11 ^a -¥- r'x,

d'où