CHAPITRE X

DE LWrÊGRATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES PAR LES SÉRIES OU PAR LES INTÉGRALES DÉFINIES.

Emploi des formules de Taylor et de Maclaurin,

757. UAnalyse mathématique n'étant en possession d'aucune méthode générale pour l'intégration des équations différentielles, on a dû recourir, dans les applications, aux méthodes d'approximation fondées sur l'emploi des séries. Mais ces méthodes elles-mêmes sont difficilement praticables dans le cas des équations non linéaires, à moins qu'on ne puisse se borner à un trèspetit nombre de termes. Nous nous proposons, dans ce Chapitre, de donner une idée des procédés en usage pour effectuer l'intégration par les séries.

Celui qui s'offre le premier consiste dans l'emploi des formules de Taylor et de Maclaurin. Nous avons déjà fait usage de la formule de Taylor pour établir l'existence des équations intégrales ; on peut lui substituer la formule de Maclaurin, qui conduit souvent à des résultats plus simples, mais qui ne fait pas toujours connaître l'intégrale générale demandée. C'est ce que l'on va voir dans l'exemple suivant.

758. Considérons l'équation du deuxième ordre qu'on rencontre dans diverses questions de Physique ma-

thématique, et dans laquelle n et m? désignent deux nombres réels donnés positifs ou négatifs.

Multiplions Téquation (1 ) par^r et différentions ensuite p. — I fois; on aura

Pour X = o, les équations (a) et (3) donnent

(4) ;^=0. (3«-Hp-.)^ = (^-.)m«^} dans le cas de j!jl = 2, cette dernière équation est

On voit que, si 2 71 n'est pas un entier négatif, les dérivées dej^ des ordres impairs sont nulles, et que les dérivées des ordres pairs sont données par la formule

É^'V T .3.5. . Jar — i)

— il z=z m'' r.

cte*' (2/1 -h- IJ(2« -H 3). . .^2« 4- 2/ — 1)

Si donc on désigne par C la valeur de y qui répond à X = o, la formule deMaclaurin donnera cette intégrale particulière de l'équation (i)

J = C IH ; rH-

m*jr' 771* .r*

La formule (6) est illusoire lorsque 2/z est égal a un