CHAPITRE X. S8l

et Fintégrale particulière connue est

m*jr* m^x^ m^x^

J'» = ' -^ ^T- -*- rrr. +

Le polynôme désigné par P se réduit ici à une constante, et le produit Pj^i peut être confondu dans z ; il est évident d'ailleurs qu'il est permis de faire G = i , et nous devons poser en conséquence

d'où

^ = ^ logjr-4- -^ 4- — , djc dx X flx

• dx^ dx^ ^ X dx X* fitr*

et, en portant ces valeurs dans la proposée, on obtient la transformée

j — — ni* z ^=: — — •

fitr* X ilx X dx

Posons

3 = ÛQ -f- «1 or* H- a^x^ -h ... -h fl/j:*' +• . •

et désignons, pour abréger, par

la valeur dej^i", substituons les valeurs de z et de j^i dans l'équation différentielle et égalons les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres; on aura

4'"*^/ — w* a^«i = — 4'^/ ou

ki A,«i~" *'

58a CALCUL INTÉGUAL.

et par conséquent

rien n'empêche de supposer a^ = o, et alors on aura

On a donc cette deuxième intégrale de la proposée

ial

765. Nous avons déjà eu l'occasion de remarquer qu'il pouvait y avoir avantage à exécuter un changement de variables avant de procéder au développement en série. Nous allons en donner un nouvel exemple en conservant la même équation

d^X a/i djr ,

dx^ X dx

Posons fx = dr m et exécutons la substitution

ax \d,r ]

d^ dx

y fd^z dz , \ ^

nous obtiendrons, à cause de /x^ = m*, la transformée suivante en z :

/ «- i riA \ in f dz \

Essayons maintenant de satisfaire à cette équation en

posant

z = «0 -h «ix -*- a,«* -4- ... 4- rt,.r' -f- . . . ;