CHAPITRE X

substituant et égalant à zéro le coefficient d'une puissance quelconque x'"~* de Xy il vient

Si a« n'est pas un nombre entier négatif, la précédente équation déterminera le rapport des coefficients aiyat^^y et Ton en conclura la valeur de aiy savoir

ai-= ( — lu.} ~ : : ; «o»

^ ' I.a. . ./ X ,2/2, (2/1 -+- Ij. . . (2/2-t- I — l)

le premier coefficient demeure arbitraire.

Supposons que n soit un entier négatif — h, La relation obtenue entre aielai^^ montre que «^4.1 est nul, et il en est de même, en conséquence, de aifj^^i ^A+sy •-•» a^h* Le coefficient a2A+i est arbitraire et les coefficients qui suivent sont déterminés en fonction de «2^+1 • Donc, dans le cas dont il s'agit, on obtient les deux intégrales suivantes de Téquation en z^

s = «0 -H ^1 "^ "+" ^î'^* + . . -f- cik-r'^^

et, par suite, on a une intégrale particulière de la proposée, par une formule qui renferme un nombre limité de termes. J'ajoute qu'on a deux intégrales particulières de cette espèce, puisqu'on peut supposer à fx la double valeur ii= m.

Il résulte de là que, si n est un entier négatif, on peut exprimer sous forme finie l'intégrale générale de l'équation proposée; la même chose a lieu quand n est un entier positif, car on ramène ce cas au précédent, ainsi qu'on l'a déjà vu. On obtient d'ailleurs l'intégrale sous une forme très-remarquable en opérant comme il suit*

584 CALCUL IITTÉGRAL.