CHAPITRE X
donCy dans le cas de n entitir positif, en désignant par G| G deux constantes arbitraires,
y = Ce"»' — 3i H- C'^-"'
Si 71 est un entier négatif, il faut écrire i — /i au lieu de n et multiplier par x*""*" le résultat obtenu (n"760). L'intégrale générale de la proposée est donc, dans ce cas.
Z7e l'équation de Riccati*
767. L'équation de Rîccati, dont nous nous sommes déjà occupé au n® 663, est
a et b étant des constantes données, m un exposant
quelconque. On la ramène à une équation linéaire en
posant
dz
I iix
d'où
dzy
d}z fdz
dy I dx^ I \dr}
dx a z a z* '
il vient, par cette substitution,
(3) ^^ = aha^z.
L'équation (3) est linéaire, et son intégrale générale est de la forme
2 = C| Z| H- Gf Sfy
586 CALCUL intégual.
C, et Ca étant deux constantes arbitraires. Portant cette
valeur dans la formule (2) et posant -^ = G, on aura
, ,. I dv dx
Téquation (4), qui renferme une constante arbitraire C, est Fintégrale générale de Téquation de Riccati. Mais il reste à trouver les intégrales particulières Z| , z^, de Téquation (3). On obtiendrait sans difficulté ces intégrales en procédant directement au développement en série par la méthode des coefficients indéterminés ; mais on peut éviter ce nouveau calcul en ramenant l'équation ( 3 ) à celle dont nous nous sommes occupé précédemment. En effet, posons
Wl-f-t
et prenons t pour variable indépendante au lieu de x ; ou aura
dz /» -4- 2 -i flfs
dx a dt
(l^z [m-h-x]^ ,„d^z m*-^im ^^ dz
et, si Ton porte la valeur précédente de -— dans Féquation (3), il viendra
,^, f^z m i dz âab
^ ' dt"^ m-\-i t dt I m -h 2)*
en même temps, on aura, par la formule (4)y
^ 1^ -t- C — ,^, fm-i-î).r« dt dt (6) y — -—; 5
