CHAPITRE X

Zi et Z2 désignant deux intégrales particulières distinctes de Téquation (5). On voit que cette équation (5) n'est autre chose que celle qui a été étudiée aux n°* 758 et suivants. On peut obtenir son intégrale, sous forme finie,

lorsque est un nombre pair dz 21, positif ou négatif, c'est-à-dire lorsque le nombre m a la forme

on retrouve ainsi les cas d'intégrabilité que nous avons déjà obtenus au n^ 665.

De l'intégration des équations différentielles par le moyen des intégrales définies.

768. Au lieu d'exprimer par des séries les intégrales des équations différentielles, il y a souvent avantage à employer des intégrales définies. Le problème qu'il s'agit alors de résoudre consiste à exprimer, par une telle intégrale, la somme d'une série déterminée ; il est impossible de donner une règle générale pour cet objet; aussi nous bornerons-nous à présenter un exemple.

Reprenons l'équation différentielle

Nous avons vu qu'elle admet l'intégrale

dont les coefficients A satisfont à la condition (3) A<= — ^ r "^/— !•

^ ' 2/(2/1 4- 2« — ij

588 «CALCUL uttégual.

Si Ton pose

la condition (3) deviendra

A/ rn^ A,i

?l'i 2^2/ — l) ff^i — l)

et l'on conclut de là

A/ __ m*' Aft

Âo étant arbitraire, posons Ao = f (o) ; on aura

Or, si n est positif, on reconnaît, au moyen de l'intégration par parties, que l'on satisfait à l'équation (4) en posant

^[i)=- f cos*'û)sin"'*~*wr/w; on peut donc faire

A/= ; I cos*'oi8in*'*"*w£/w,

et la formule (2) donnera cette intégrale de l'équation (i)

Jf*"^ / /ii*jr*Cos*w /7i*jr*cos*w \ . •« 1 ,

^mxcoim i g—mxcoêm

ou

yiz= I ~ ^^ sin***"* w ^M.

Pour avoir une seconde intégrale, il suffit (n® 760) de