CHAPITRE X. 58g

changer n en i — tz et de multiplier ensuite parx*""^"; on a donc

sin*~*'*w</w;

mais cela suppose que Ton a n <[ i ^ car autrement l'intégrale contenue dans cette formule serait infinie.

769. Si m* est négatif, soit m^ = — |x^, l'intégrale générale de l'équation

d^y 9.n dy ^

. dx* X dx

où n est compris entre o et i, sera y=c/ cos(fAa:cosw)sin*'»~*wrfw-l-C'x*~*'* I cos(^j:cosw)sin'~*'*«r/w,

C et C étant deux constantes arbitraires.

Lorsque /i= ->les deux intégrales particulières con-

tenues dans celte formule se confondent; mais il est facile d'avoir l'intégrale générale qui répond à ce cas, en employsTnt un artifice dont nous avons déjà plusieurs fois fait usage. Posons an = i — A, on aura

... * , . //•loff'sinw , . , ' sm"*~*wr=:i — Alogsm&j -\ — ^smw)''*,

/i*Iog^[arsinw)

[x sinoi))*"'*'* = i-h A log (x sinw] H ^ - - -- [x sin«)^^,

0 et X étant compris entre o et i* Si l'on porte ces valeurs dans la formule précédente, que l'on remplace C + C par C| y C A par Cs et qu'ensuite on fasse A = o, il viendra

jr=^ \ cos(fu:coft»)rfw-f-Ci / cos[pxcosa>jlog[j;sin'&>j</u,

SgO CALCUL INTÉGRAL,

ce qui est l'intégrale générale de l'équation

d^r 1 r/r ax^ X dx

Il serait facile de déduire ce résultat de l'analyse du n*» 764.

Sur la détermination des intégrales définies par le mojen des équations différentielles,

770. Le problème dont il s'agit ici est l'inverse de celui dont nous venons de nous occuper. Lorsqu'une intégrale définie renferme un paramètre variable, on peut se proposer de former une équation différentielle à laquelle elle

satisfasse et qui soit débarrassée du signe i . Si l'on sait

intégrer l'équation différentielle obtenue, on pourra dé* terminer la valeur de l'intégrale définie proposée ; nous allons présenter un exemple.

dcK^

Considérons l'intégrale définie

où l'exposant /i-i- i est supposé positif. L'intégration par parties donne

/cosorr^ sinax ?.(/î-f-i) /* sinotj:

d'où