CHAPITRE X. Sgt
En différentiant deax fois Téquation (2), on a d*où, par la soustraction, Mais la différentiation de Téqualion (i) donne aussi
et Ton a, par les formules (4) et (5),
d^( rr) . dy
ou
Cette équation est encore celle dont nous nous sommes occupé dans les numéros précédents. Nous savons Tintégrer, sous forme finie, quand /lestun entier: on pourra donc déterminer, dans cette hypothèse, la valeur de l'intégrale proposée.
Soit, par exemple, 71 = o. L'équation (6) se réduit à
d^Y et son intégrale générale est
Il reste à déterminer les constantes G et C. D'abord on a C = o si l'on suppose x positif, car l'intégrale proposée ne peut pas croître indéfiniment avec x. Ensuite,
5y2 CALCUL INTÉGRAL.
cette intégrale se réduisant à / r» c'est-à-dire à -»
pour j: = o, on a C = -\ donc
cos ax , ^ ^
- aa = — e M
dans le cas de o: ^ o, comme nous l'avons déjà établi au n« 496.
Exemple de la détermination de la somme d'une série donnée par le mojen d'une équation différentielle,
771 . On peut quelquefois déterminer la somme d'une série dont les termes dépendent d'une variable, en formant une équation différentielle à laquelle satisfasse la somme de la série, et en intégrant ensuite cette équation. Souvent aussi l'on parvient, par le même procédé, à transformer des séries en d'autres plus commodes pour le calcul numérique ; nous allons en présenter un exemple .
Proposons-nous de trouver la somme de la série convergente
' 1.3.5 1.3.5. 7. 9 ' i.3.5...(4/ï -Hi)
La variable x étant supposée réelle et positive, posons
on aura
Différentiant deux fois et multipliant par 4» il vient
^ ' ^ <lc* L 1-3.5 1.3.5. 7.9 J
