CHAPITRE XI

Considérons, par exemple, l'éqnalion aux dérivées partielles

dans laquelle z est une fonction inconnue des variables .r, jy et où fy F désignent des fonctions données des mêmes variables. La variable y étant traitée comme constante, l'intégration donnera (n° 658)

f{2;y)dx

F[x,x)dx

mais ici la constante C est une fonction arbitraire de^, et, en écrivant (f{y) au lieu de C, on aura

773. On peut opérer de la même manière dans le cas de certaines équations qui renferment des dérivées relatives à plusieurs variables indépendantes. Considérons par exemple Téquatjon

d^z dz ..

dxdr ôx

où a est une constante donnée ety(x, ^) une fonction donnée des variables indépendantes a:, j* Si Ton pose

dz dx=P'

Téquation proposée deviendra

^-^ap=if[xyy)^

et sous cette forme elle rentre dans la classe de celles

dont nous venons de nous occuper. En intégrant comme si X était une constante et en désignant par X' la constante arbitraire y on a

p = y^er^y^ er'^y f e^yf[ar, y]ây.

Dans cette équation, il faut regarder X' comme une fonc-

tion arbitraire de :r ; en remettant ~ au lieu de p^ il

vient

dz r^

Intégrons maintenant cette équation en regardant y comme une constante; on aura, en désignant par Y la constante arbitraire et par X la fonction arbitraire de x qui a pour dérivée X',

djc I e''yf[x,y]dx.

Il est évident que cette formule fait connaître la solution la plus générale de Téquation proposée; elle renferme deux fonctions arbitraires X, Y, la. première indépea^ dante dej^, la seconde indépendante de x.

Des équations aux dérivées partielles çlu premier ordre linéaires par rapport aux dérivées.

774. Nous donnerons plus loin la définition de Vintégrale générale d'une équation aux dérivées partielles du premier ordre, et nous établirons que la recherche de cette intégrale peut toujours être ramenée à l'intégration d'un système d'équations différentielles ordinaires, quel que soit le nombre des variables indépendantes. Mais nous nous occuperons exclusivement ici du cas

chapithb XI. 60 1

particulier des équations aux dérivées partielles du premier ordre dans lesquelles les dérivées n'entrent qu'au premier degré et ne se multiplient pas entre elles.

Cas de deux variables indépeiîdavtes. — Soient ^i y 9 ^ trois variables dont la dernière est regardée comme fonction des deux autres ; posons aussi

dzz=zpdx -h q djr^

ce qui exprime que p et q représentent les dérivées partielles de z par rapport à a: et kj respectivement.

L'équation aux dérivées partielles dont nous allons nous occuper est la suivante,

P, Q, R y représentent des fonctions données des trois

variables Xyjr, z.

On a vu (n° 83) que, si u et i^ désignent des fonctions données de x^y^ z, on obtient une équation aux dérivées partielles de même forme que la proposée, en éliminant la fonction arbitraire f de l'équation

(a) 9 = <fu],

par le moyen de celles qu'on en déduit par la différentiation relative à j: et à^. Il est donc naturel de chercher si Ton peut satisfaire dans tous les cas à l'équation (i) en prenant pour z une fonction définie par l'équation (a), où ç désigne une fonction arbitraire et où u, i/ représentent des fonctions de x^y, z convenablement choisies. En diflférentiant l'équation (2) par rapport à x et par rapport à^, on trouve

dv àv ,, si au du\ ^ dv dv ,, s Idu âu\

6o2 CALCUL TNTÉGUÀL.

par conséquent, pour que Téqualion (2) donne une solution de Téquation (t), il faut et il suffit que Ton obtienne une équation identique en éliminant p et q entre les équations (i)et (3). Pour faire cette élimination, il suffit d'ajouter les équations (3) entre elles, après les avoir multipliées respectivement par P et Q ; il vient alors, en se servant de Téquation (i),

' di' ^ ai' ^ dp\ ,,, f^ du ^ du „ du\

et cette équation aura lieu, quelle que soit la fonction tf^ si Ton a identiquement

^ du ^ du ^ du P— +Q-r--hR-— =0,

l ^ài> ^d^ „ dv P-p -i-Q-- -4-R^=o,

\ ox Or oz

Or on a vu ( n® 626) que, si Ton désigne par (5 ) u = const., V =r const.

les deux intégrales des équations diflérentielles ordinaires simultanées

.^ dr dy dz

les fonctions u et (^ satisfont aux équations (4); si donc on prend pour u et i', dans Téquation (2}, les fonctions ainsi déterminées, cette équation (2) donnera une solution de la proposée (i), quelle que soit la fonction ^ .

77S. J'ajoute que toute solution de Téquation (i) est comprise dans Téquation (2). En effet, supposons que Téquation (i) soit satisfaite par une valeur de z définie par Téquation

(7) F(-»^.ri^) = o.