CHAPITRE XI. 6o

On a, par la dîfféren dation ,

dF dF ÔF dF

et, les valeurs de ^ et de ^ tirées de ces équations étant substituées dans Féquation (i), on aura, par notre hypothèse, ,Q^ r.àF ^dF ^ dF

équation qui doit devenir identique en vertu de l'équation (7).

Or les quantités que nous avons désignées par u et (^ sont des fonctions données de x, j", z\ on peut donc regarder j^y z comme des fonctions de u, Vj x ou comme des fonction^ de u, Vj y. Soit, en conséquence,

(9) F(^,ri2)=/(",*'»*)=/i("i«'/r);

on aura

âF^du dfdv df

dx du d.r ôv dx Ôjc

dF^__dfdu dfdv dj Ou dy dv ôf

dF^du dfdp Ôz du ôz Ov dz

et la substitution de ces valeurs dans Téquation (8) donnera, à cause des équations (4)^

Pf- = o; la formule (9) donnera également

^dx

Si le premier membre de Féquation (y) ne se réduit

6o4 CALCUL INTÉGRAL.

pas à une fonction des seules variables a, i^, les dérivées -y-^ -^ ne seront pas identiquement nulles, et Ton ne

peut pas admettre que Tune des équations^- =o, -^=0

ait lieu en vertu de Téquation (7), y(w, 1^, j:) = o ou /*! ( a, j/, ^ ) = o, car l'élimination de x ou celle de j donnerait une équation finale entre u et v, ce qui implique contradiction. Il faut donc que P et Q s'annulent, en vertu de Téquation (7), ce qui exige que R soit aussi zéro. Il est évident que, si P, Q, R s'annulent simultanément pour une certaine valeur de z, l'équation proposée sera en même temps satisfaite; mais nous faisons abstraction de ces solutions, et l'on voit alors que l'équation (7) a nécessairement la forme

d'où l'on tire pour j/ une valeur

qui ne dépend que de u,

776. Cas d'un nombre quelconque de variables. — L'analyse qui précède est applicable à toutes, les équations aux dérivées partielles du premier ordre, linéaires par rapport aux dérivées, quel que soit le nombre des variables indépendantes. C'est ce que nous allons établir.

Nous désignerons par

les n variables indépendantes, par x la variable principale, c'est-à-dire la fonction inconnue des variables indépendantes; nous ferons en outre

dx =Pi dry -h Pi d.r^ 4- ...-»- p^ dXj^.

Cela posé, la forme générale des équations aux dérivées